Геометрический смысл интеграла

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах.

Интегралы Вычисление длины плоской линии

 

Пусть линия $ L$ представляет собой график функции $ y=f(x)$ , рассматриваемый при $ x\in[a;b]$ . Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на $ [a;b]$ непрерывную производную. Наша цель -- найти длину линии $ L$ (по сути дела, нам придётся дать определение того, что мы считаем длиной произвольной линии).

Рассмотрим разбиение $ X$ отрезка $ [a;b]$ точками $ x_0=a<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b$ и отметим соответствующие точки $ M_i(x_i;f(x_i))$ на графике. На каждом отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ приближённо заменим дугу графика $ y=f(x)$ на хорду $ M_{i-1}M_i$ .

Рис.6.14.



Длина этой хорды по теореме Пифагора равняется
$\displaystyle l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}.$

Рис.6.15.



Преобразуем это выражение к виду

 

$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+\Bigl(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\Bigr)^2}.$

По теореме Лагранжа, на интервале $ (x_{i-1};x_i)$ найдётся такая точка $ \ov x_i$ , что

 

$\displaystyle \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(\ov x_i).$

Поэтому получаем

 

$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}.$

Рассмотрим теперь точки $ \ov x_i$ , $ i=1,\dots,n$ , как отмеченные точки и получим размеченное разбиение $ \Xi$ . Соответствующая этому разбиению суммарная длина ломаной $ M_0M_1\ldots M_{n-1}M_n$ равна

 

$\displaystyle \wt l_X=\sum_{i=1}^nl_i=
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Будем считать эту длину приближённым значением длины линии $ L$ , а предел этой величины при неограниченном измельчении разбиения -- по определению равным длине $ l$ линии $ L$ :

 

$\displaystyle l=\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt l_X=
\lim_{\matho...
...diam}\nolimits (X)\to0}
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Заметим теперь, что величина $ \wt l_X=\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}(x_i-x_{i-1})$ представляет собой интегральную сумму, составленную по размеченному разбиению $ \Xi$ для функции $ {g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}}$ . Эта интегральная сумма при измельчении разбиения будет стремиться к значению определённого интеграла, так что получаем в итоге:

$\displaystyle l=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\;dx.$(6.7)

 Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

5.1. .

Решение. Запишем последовательность абсолютных величин членов данного ряда. Получим: . Члены ряда убывают по абсолютной величине. Теперь найдём предел общего члена ряда, составленного из абсолютных величин. Получим:   - как предел обобщённого гармонического ряда при . Таким образом, выполняются оба условия признака Лейбница, и данный ряд является сходящимся. Поскольку выше мы установили сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, то данный ряд сходится абсолютно.

5.2. .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

. Он будет сходящимся, так как члены его составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой по модулю меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится, и сходится абсолютно.

Примеры решения задач по нахождению интеграла