Геометрический смысл интеграла

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах.

Интегралы Вычисление длины плоской линии

 

        Пример 6.6  Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Рис.6.16.



Пусть $ f(x)=\frac{x^2}{2}$ ; тогда $ f'(x)=x$ и

 

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx.$

Для вычисления значения интеграла $ l$ проинтегрируем по частям и преобразуем интеграл в правой части так, что получится уравнение относительно $ l$ :

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=\left\vert\begin{array}{l}
 u=\sqrt{1+...
...t\vert=
 x\sqrt{1+x^2}\Bigl\vert _0^1-\int_0^1x\cdot\frac{x\;dx}{\sqrt{1+x^2}}=$(6.7*)
$\displaystyle =\sqrt{2}-\int_0^1\frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
 \sqrt{2}-l+\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx,$(6.8)

Здесь мы учли при перобразовании, что

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=l.$

Последний интеграл в правой части (6.7*) -- табличный:

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\ln\vert x+\sqrt{1+x^2}\vert\Bigl\vert _0^1=\ln(1+\sqrt{2}).$

Получаем в итоге уравнение для искомой величины $ l$ :

 

$\displaystyle l=\sqrt{2}-l+\ln(1+\sqrt{2}),$

откуда находим

 

$\displaystyle l=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})).$

    

Аналогично построению, проведённому выше, можно выполнить построение вписанной ломаной для линии $ L$ , заданной параметрическими уравнениями в $ m$ -мерном пространстве с координатами $ (x_1;\dots;x_m)$ :

 

$\displaystyle x_j=f_j(t),\ j=1,\dots,m$

($ m=2$ для плоскости, $ m=3$ для трёхмерного пространства). Снова считая длину линии по определению равной пределу длин вписанных ломаных при измельчении разбиения, получаем формулу для длины $ l$ дуги линии $ L$ , лежащей между точками $ M_0(f_1({\alpha}),\dots,f_m({\alpha}))$ и $ N(f_1({\beta}),\dots,f_m({\beta}))$ :

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{\sum_{j=1}^m(f_j'(t))^2}\;dt.$(6.9)

Если на плоскости (то есть при $ m=2$ ) в качестве параметра $ t={\varphi}$ линии, заданной уравнением в полярных координатах $ r=f({\varphi})$ , взять полярный угол $ {\varphi}$ , то формула длины линии принимает вид

 

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{(f({\varphi}))^2+(f'({\varphi}))^2}\;d{\varphi}.$

При выводе этой формулы нужно учесть связь между декартовыми координатами $ (x_1;x_2)$ и полярными координатами $ (r;{\varphi})$ :

 

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi}.$

Выведите эту формулу длины из формулы (6.9) в качестве упражнения.

   

 Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

5.1. .

Решение. Запишем последовательность абсолютных величин членов данного ряда. Получим: . Члены ряда убывают по абсолютной величине. Теперь найдём предел общего члена ряда, составленного из абсолютных величин. Получим:   - как предел обобщённого гармонического ряда при . Таким образом, выполняются оба условия признака Лейбница, и данный ряд является сходящимся. Поскольку выше мы установили сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, то данный ряд сходится абсолютно.

5.2. .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

. Он будет сходящимся, так как члены его составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой по модулю меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится, и сходится абсолютно.

Примеры решения задач по нахождению интеграла