Геометрический смысл интеграла

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах.

Интегралы Площадь поверхности вращения

 

   Пример 6.9   Вычислим площадь $ Q$ поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси $ Ox$ части линии $ y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси $ Ox$ .

Рис.6.21.



Так как $ y'=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ , то формула (6.10) даёт нам интеграл

 

$\displaystyle Q=2\pi\int_0^1\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+x}\;dx=
\frac{4\...
...t{x^2+x}\;dx=
\frac{4\pi}{3}\int_0^1x\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}\;dx.$

Сделаем в последнем интеграле замену $ t=x+\frac{1}{2}$ и получим:

 

$\displaystyle Q=
\frac{4\pi}{3}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}(t-\frac{1}{2})...
...
\frac{2\pi}{3}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}
\sqrt{t^2-\frac{1}{4}}\;dt.
$

В первом из интегралов правой части сделаем замену $ z=t^2-\frac{1}{4}$ :

 

$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}
\sqrt{t^2-\frac{1}{4}}\cdot2t\;...
..._0^2\sqrt{z}\;dz=\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\Bigr\vert _0^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$

Для вычисления второго из интегралов в правой части обозначим его $ I$ и проинтегрируем по частям, получив уравнение для $ I$ , как в примере 6.6:

$\displaystyle I=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sqrt{t^2-\frac{1}{4}}\;dt=
 t\...
...}{2}}-
 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{t^2}{\sqrt{t^2-\frac{1}{4}}}\;dt=$   
$\displaystyle =\frac{3\sqrt{2}}{2}-
 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{t^2-...
...{1}{4}\ln\vert t+\sqrt{t^2-\frac{1}{4}}\Bigr\vert _{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}=$   
$\displaystyle =\frac{3\sqrt{2}}{2}-I-
 \frac{1}{4}\ln\Bigl(\frac{3}{2}+\sqrt{2}...
... \frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}=
 \frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}\ln(3+2\sqrt{2})-I.$   

Перенося $ I$ в левую часть и деля на 2, получаем

 

$\displaystyle I=\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{8}\ln(3+2\sqrt{2}),$

откуда, наконец,

 

$\displaystyle Q=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{2\pi}{3}
\Bigl(\f...
...ln(3+2\sqrt{2})\Bigr)=
\frac{\pi}{36}\bigl(14\sqrt{2}+3\ln(3+2\sqrt{2})\bigr).$

Свойства равномерно сходящихся рядов.

 1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

 Если члены ряда  - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

  2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

 Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

  3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

 Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

 

 На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

 Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

5.1. .

Решение. Запишем последовательность абсолютных величин членов данного ряда. Получим: . Члены ряда убывают по абсолютной величине. Теперь найдём предел общего члена ряда, составленного из абсолютных величин. Получим:   - как предел обобщённого гармонического ряда при . Таким образом, выполняются оба условия признака Лейбница, и данный ряд является сходящимся. Поскольку выше мы установили сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, то данный ряд сходится абсолютно.

5.2. .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

. Он будет сходящимся, так как члены его составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой по модулю меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится, и сходится абсолютно.

Примеры решения задач по нахождению интеграла