Геометрический смысл интеграла

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции   при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство: .

Открытые и замкнутые области

        Определение 7.1   Функцией нескольких переменных будем называть любую функцию $ f$ с вешественными значениями, область определения которой $ \mathcal{D}=\mathcal{D}(f)$  -- подмножество $ n$ -мерного пространства $ \mathbb{R}^n$ , $ n\geqslant 2$ . Таким образом,

 

$\displaystyle f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ --

это функция, аргументами которой служат точки

 

$\displaystyle x=(x_1;x_2;\dots;x_n)\in\mathcal{D}\sbs\mathbb{R}^n,$

где координаты точки $ x$ , то есть числа $ x_i\in\mathbb{R}$ ($ i=1,2,\dots,n$ ) -- те переменные, от которых зависит значение $ f(x)$ функции $ f$ .     

Нас будут интересовать функции, областями определения которых служат открытые или замкнутые подобласти $ {\Omega}$ в $ \mathbb{R}^n$ . Дадим определение того, что такое открытая и замкнутая области.

        Определение 7.2   Точку $ x^0$ множества $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ назовём внутренней точкой $ {\Omega}$ , если $ x^0$ входит в $ {\Omega}$ вместе с некоторой своей шаровой окрестностью:

 

$\displaystyle B=B^{x^0}_{{\delta}}=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \vert x-x^0\vert<{\delta}\}\sbs{\Omega}.$

(Через $ {\delta}$ обозначен радиус шаровой окрестности $ B$ ; в качестве расстояния $ \vert\cdot\vert$ мы будем брать декартово расстояние между точками, так что расстояние между точками $ {a=(a_1;\dots;a_n)}$ и $ {b=(b_1;\dots;b_n)}$ равняется $ \vert a-b\vert=\sqrt{(a_1-b_1)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2}$ .)

Рис.7.1.



Множество всех внутренних точек множества $ {\Omega}$ называется внутренностью множества $ {\Omega}$ и обозначается $ \mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ .

Множество $ {\Omega}$ называется открытым, если все его точки -- внутренние, то есть если оно совпадает со своей внутренностью: $ {\Omega}=\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ . Открытое множество в $ \mathbb{R}^n$ часто называют также открытой областью.     

     

 Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

Решение. Запишем коэффициент данного ряда: . Найдём радиус сходимости данного ряда: . Интервал сходимости данного ряда будет . Проверим поведение ряда в конечных точках данного интервала.

Пусть . Получим ряд . Проверим его сходимость по признаку Даламбера. . Ряд расходится, следовательно, точка  не принадлежит области сходимости.

Пусть  . Получим ряд . Получили знакочередующийся ряд, расходимость которого легко устанавливается с помощью признака Лейбница (не выполняется первое условие). То есть, точка  также не входит в область сходимости. Итак, область сходимости данного ряда - .

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям