Примеры вычисления интегралов

 Основным свойством первообразной является следующее: если F(х) и G(x) – первообразные для одной и той же функции f(x) на одном и том же промежутке, то F(х) - G(x) = const. Определение. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается (промежуток (a, b) – обычно это промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается). Следовательно, если F(х) есть первообразная для f(x) на (a, b), то .

Первообразная и неопределённый интеграл

 

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что $\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C$ и $\displaystyle \Bigl(\int f(x)\,dx\Bigr)'=f(x).$

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство: $\displaystyle \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx,$

где $ k$  -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через $ F(x)$ некоторую первообразную для $ f(x)$ , а через $ G(x)$  -- некоторую первообразную для $ kf(x)$ . Тогда равенство означает, что $ G(x)=kF(x)+C$ , где $ C$  -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: $ G'(x)=kf(x)$ , так как $ G(x)$  -- первообразная для $ kf(x)$ , а $ (kF(x))'=kF'(x)=kf(x)$ , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и $ F'(x)=f(x)$ .

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

            С помощью подстановки  функция рационализируется.

Тогда

            Пример.

            Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

            Проиллюстрируем это на примере.

            Пример.

 Задание 2. Найти пределы функций:

2.1. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем следующее известное свойство.

 Пусть дана дробно-рациональная функция , где  некоторые многочлены. Тогда:

Если степень многочлена  больше степени многочлена , то .

Если степень многочлена  меньше степени многочлена , то .

Если степень многочлена  равна степени многочлена , то , где числовые коэффициенты при наивысших степенях  в данных многочленах.

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому .