заказ дипломной работы Геометрический смысл интеграла

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции   при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство: .

Пределы функций нескольких переменных

 

Для того чтобы дать определение предела функции нескольких переменных, нужно напомнить общее определение базы предела и предела функции по данной базе. Пусть функция $ f(x)$ имеет область определения $ \mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}^n$ .

        Определение 7.8   Базой $ \mathcal{B}$ называется такой набор множеств $ E$ , называемых окончаниями базы, что, во-первых, все $ E$ не пусты и, во-вторых, если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$ , то найдётся такое окончание $ E_3\in\mathcal{B}$ , что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$ .     

        Определение 7.9   Пусть функция $ f$ такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы $ \mathcal{B}$ . Число $ L$ называется пределом функции $ f$ по базе $ \mathcal{B}$ , если для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$ , что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ . Число $ L$ обозначается тогда

 

$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x).$

    

Дадим примеры баз, используемых при вычислении пределов функций нескольких переменных.

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

            Разложение функции cos x имеет вид:

Зная разложение функции cos х легко найти функцию 1 – cos x:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами). Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо  хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).

            Итак:

Итого, получаем:

Как видно,  абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…

 Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

Решение. Запишем коэффициент данного ряда: . Найдём радиус сходимости данного ряда: . Интервал сходимости данного ряда будет . Проверим поведение ряда в конечных точках данного интервала.

Пусть . Получим ряд . Проверим его сходимость по признаку Даламбера. . Ряд расходится, следовательно, точка  не принадлежит области сходимости.

Пусть  . Получим ряд . Получили знакочередующийся ряд, расходимость которого легко устанавливается с помощью признака Лейбница (не выполняется первое условие). То есть, точка  также не входит в область сходимости. Итак, область сходимости данного ряда - .

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям