Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Курс лекций Непрерывность функции

 

        Определение 7.10   Пусть $ x^0\in\mathbb{R}^n$  -- некоторая точка, и функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x^0$ . Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной в точке $ x^0$ , если существует предел функции при $ x\to x^0$ , и этот предел равен значению функции в точке $ x^0$ :

 

$\displaystyle \lim_{x\to x^0}f(x)=f(x^0).$

Пусть теперь $ f(x)$ определена на некотором множестве $ {\Omega}$ , и $ x^0\in{\Omega}$ . Будем называть функцию $ f(x)$ непрерывной в точке $ x^0$ изнутри множества $ {\Omega}$ , если существует предел при $ {x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0}$ , равный значению функции в точке $ x^0$ :

 

$\displaystyle \lim_{x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0}f(x)=f(x^0).$

Если функция $ f(x)$ рассматривается в открытой области $ {\Omega}$ , то мы будем называть $ f(x)$ непрерывной в области $ {\Omega}$ , если $ f$ непрерывна в каждой точке $ x^0\in{\Omega}$ . Если же область $ {\Omega}$ замкнутая, то $ f(x)$ непрерывна в $ {\Omega}$ , если она непрерывна во всех внутренних точках $ x^0\in{\Omega}$ и непрерывна изнутри $ {\Omega}$ во всех граничных точках $ x^0\in\partial{\Omega}$ .

Далее мы для краткости будем пропускать слова "изнутри области $ {\Omega}$ ", и говорить о непрерывности функции в точке $ x^0$ безотносительно к тому, внутренняя ли это точка области $ {\Omega}$ или граничная.     

Простейшие свойства непрерывных функций нескольких переменных следуют из общих свойств пределов точно так же, как для функций одного переменного. А именно, имеет место следующая теорема:

        Теорема 7.4   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ определены в некоторой области $ {\Omega}$ . Тогда если обе они непрерывны в точке $ x^0\in{\Omega}$ , то:

1) функция $ h_1(x)=f(x)+g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

2) функция $ h_1(x)=f(x)-g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

3) функция $ h_1(x)=f(x)g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

4) если $ g(x^0)\ne0$ , то функция $ h_1(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $ x^0$ .     

Пусть $ {\omega}$  -- область в пространстве $ \mathbb{R}^m$ , и в $ {\omega}$ заданы $ n$ функций $ g_i(u)$ , $ u\in{\omega}$ , $ i=1,\dots,n$ . Предположим, что все значения вектор-функции $ x=g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$ принадлежат некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , в которой определена функция $ f(x)$ . Тогда имеет смысл композиция $ f\circ g$ функции $ f$ и вектор-функции $ g$ :

 

$\displaystyle (f\circ g)(u)=f(g(u)),\ u\in{\omega}.$

Рис.7.10.

    

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

  Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям