Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Высшая математика Ограничения функции на данное множество

Пусть вещественнозначная функция $ f(x)$ задана в некоторой области $ {\Omega}$ , и $ {\omega}\sbs{\Omega}$  -- некоторое подмножество этой области; тем самым, функция $ f(x)$ определена и при всех $ x\in{\omega}$ . Если теперь рассматривать значения $ f(x)$ лишь в точках $ x\in{\omega}$ , а вне $ {\omega}$ вообще не рассматривать, то получаем функцию, областью определения которой служит множество $ {\omega}$ :

 

$\displaystyle f\Bigl\vert _{{\omega}}:{\omega}\longrightarrow \mathbb{R};\ f\Bigl\vert _{{\omega}}(x)=f(x).$

Функция $ f\Bigl\vert _{{\omega}}$ называется ограничением функции $ f$ на множество $ {\omega}$ .

        Пример 7.8   Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ . Рассмотрим в качестве множества $ {\omega}$ круг $ B=B_1^0=\{x\in\mathbb{R}^2:\vert x\vert<1\}.$ Тогда ограничение $ f\vert _B$ задаётся той же формулой: $ f\vert _B(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , но теперь мы можем брать в качестве аргументов только такие точки $ x=(x_1;x_2)$ , для которых $ x_1^2+x^2_2<1$ , то есть $ x\in B$ .

Если же взять за множество $ {\omega}$ прямую $ l$ с уравнением $ x_2=2x_1$ на плоскости $ \mathbb{R}^2$ , то запись выражения, задающего функцию $ g=f\vert _l$ , можно будет упростить, использовав уравнение прямой, а именно, либо получить

 

$\displaystyle g(x)=f\vert _l(x)=x_1+x_2=x_1+2x_1=3x_1,$

либо

 

$\displaystyle g(x)=f\vert _l(x)=\frac{1}{2}x_2+x_2=\frac{3}{2}x_2.$

В первом случае задающее ограничение $ f\vert _l$ выражение зависит лишь от $ x_1$ и задаёт функцию одного переменного $ x_1$ : $ g_1(x_1)=3x_1$ , где $ x_1\in\mathbb{R}$ , а во втором случае -- лишь от $ x_2$ и задаёт другую функцию одного переменного: $ g_2(x_2)=\frac{3}{2}x_2$ , где $ x_2\in\mathbb{R}$ .     

Функции $ g_1$ и $ g_2$ , выражающие значение ограничения через меньшее, по сравнению с исходным, число переменных (в данном примере -- через одну переменную, $ x_1$ или $ x_2$ ) называются параметризациями ограничения $ g=f\vert _{{\omega}}$ . Те переменные, от которых зависит параметризация, называются параметрами ограничения (точнее, параметрами рассматриваемой параметризации; как показывает приведённый выше пример, одно и то же ограничение $ f\vert _{{\omega}}$ может иметь различные параметризации).

При рассмотрении ограничения функции разумно использовать те параметры, при которых параметризация задаётся более простой формулой.

      

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

  Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям