| ||
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку
До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.
Если наряду с собственным интегралом
по бесконечному промежутку сходится и интеграл
по этому же промежутку, то первый интеграл называется
абсолютно сходящимся.
Не должно создаваться впечатления, будто параметрами ограничения могут выступать
лишь какие-либо из исходных переменных, от которых зависит рассматриваемая функция
. В следующем примере гораздо более удобной для параметризации служит переменная,
равная полярному углу
, а не какая-либо из координат
или
.
Пример 7.10
Рассмотрим функцию
, заданную на плоскости
, и окружность
. Ограничение
с параметром
, равным полярному углу, отыскивается тогда с помощью соотношений между декартовыми
и полярными координатами:
22.4. Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и
достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Лекция 23. Сходимость рядов.
23.1. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и
при un, vn ³
0.
Теорема. Если un £
vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда
, а из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.
Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и
. Т.к. по условию теоремы ряд
сходится, то его частные суммы ограничены,
т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные
суммы ряда
тоже ограничены,
а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к. , а
гармонический ряд
расходится,
то расходится и ряд
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к. , а
ряд
сходится ( как
убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если и существует предел
, где h – число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут одинаково в смысле сходимости.
Интегрирование.
Образец решения типового расчёта № 4.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. .
Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .
1.2.
.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
.
1.3.
Сведём данный интеграл к табличному:
.
Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям