Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Высшая математика Ограничения функции на данное множество

  Пример 7.9   Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ . Рассмотрим ограничение этой функции на кубическую параболу $ x_2=x_1^3$ , то есть на множество $ {\omega}$ тех точек плоскости, что связаны уравнением $ {x_2=x_1^3}$ . Уравнение параболы можно записать также в виде $ x_1=\sqrt[3]{x_2}$ . Используя эти два уравнения, мы можем получить параметризацию ограничения $ f\vert _{{\omega}}$ с помощью параметра $ x_1$ :

 

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x)=x_1^3+x_1^9=g_1(x_1),$

и с помощью параметра $ x_2$ :

 

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x)=x_2+x_2^3=g_2(x_2).$

По-видимому, вторая параметризация предпочтительнее в силу большей простоты выражения.     

Не должно создаваться впечатления, будто параметрами ограничения могут выступать лишь какие-либо из исходных переменных, от которых зависит рассматриваемая функция $ f$ . В следующем примере гораздо более удобной для параметризации служит переменная, равная полярному углу $ {\varphi}$ , а не какая-либо из координат $ x_1$ или $ x_2$ .

        Пример 7.10   Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$ . Ограничение $ f\vert _{{\omega}}$ с параметром $ {\varphi}$ , равным полярному углу, отыскивается тогда с помощью соотношений между декартовыми и полярными координатами:

 

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi},$

где $ r$  -- полярный радиус, равный $ \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ . Тогда уравнение окружности можно записать как $ r=R$ , а функция $ f\vert _{{\omega}}$ будет задаваться равенством

 

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x_1;x_2)=R\cos{\varphi}+R\sin{\varphi}=R(\cos{\varphi}+\sin{\varphi})=g({\varphi}),$

22.4. Ряды с неотрицательными членами.

            При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

            Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Лекция 23. Сходимость рядов.

23.1. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда  и   при un, vn ³ 0.

           

            Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

 

            Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов  и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

            Пример.  Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд .

            Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд  сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.

            Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости.

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

  Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям