Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Математика Свойства функций, непрерывных в области

Назовём множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число $ R$ , что

$\displaystyle {\Omega}\sbs B_R^0.$

        Теорема 7.6 (об ограниченности и существовании экстремумов)   Если функция $ f$ непрерывна в замкнутой и ограниченной области $ {\Omega}$ , то:

1) функция $ f$ ограничена на $ {\Omega}$ , то есть существует такая постоянная $ M$ , что $ \vert f(x)\vert\leqslant M$ при всех $ x\in{\Omega}$ ;

2) функция $ f$ принимает в области $ {\Omega}$ наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки $ x^1\in{\Omega}$ и $ x^2\in{\Omega}$ , что при всех $ x\in{\Omega}$ выполняются неравенства $ f(x)\geqslant f(x^1)$ и $ f(x)\leqslant f(x^2)$ .

(В этом случае точка $ x_1$ называется точкой минимума, а точка $ x^2$  -- точкой максимума функции $ f$ в области $ {\Omega}$ .)     

Свойства 1) и 2) аналогичны свойствам функции одного переменного, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$ . Доказательство теоремы заинтересованный читатель сможет найти, например, в книге
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- M.: Наука, 1991. -- С. 285-286.

        Замечание 7.1   Если область, в которой функция непрерывна, не является замкнутой или не является ограниченной, то утверждения теоремы могут быть и не верны, как показывают следующие примеры:

Функция $ f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2-1}}$ непрерывна, но не ограничена в ограниченном, но незамкнутом круге $ {\Omega}=\{x_1^2+x_2^2<1\}$ . Докажите неограниченность, рассмотрев ограничение функции $ f$ на диаметр круга, заданный условием $ x_2=0$ .

Функция $ f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2+1}}$ непрерывна на всей плоскости $ x_1Ox_2$ . Заметим, что плоскость не является ограниченным множеством. Эта функция ограничена, так как

 

$\displaystyle 0<f(x_1;x_2)\leqslant 1$

при всех $ x_1$ и $ x_2$ , принимает максимальное значение 1 в точке $ (0;0)$ , но не имеет минимального значения:

 

$\displaystyle \inf_{x\in\mathbb{R}^2}f(x)=0,$

то есть значения $ f(x)$ могут быть как угодно близки к 0, однако в любой точке $ x$ значение $ f(x)>0$ и, следовательно, ни в какой точке $ x$ значение $ f(x)$ не равно 0.     

   

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

  Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям