Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Bысшая математика Частные производные

Пусть $ x^0$  -- внутренняя точка области $ {\Omega}$ , и в области $ {\Omega}$ задана функция $ f(x)$ . Рассмотрим ограничение функции $ f(x)$ на прямую $ l_i$ , проходящую через точку $ x^0$ параллельно оси $ Ox_i$ . Эта прямая задаётся условиями $ x_j=x^0_j$ при $ j\ne i$ ; переменная $ x_i$ может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения $ f\vert _{l_i}$ имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что "замораживаются" все переменные, от которых зависит $ f$ , кроме $ x_i$ :

 

$\displaystyle f\vert _{l_i}(x)=g_i(x_i)=f(x_1^0;\dots;x_{i-1}^0;x_i;x_{i+1}^0;\dots;x^0_n).$

Получили функцию одного переменного $ g_i(x_i)$ , как параметризацию ограничения с помощью параметра $ x_i$ .

Рис.7.12.



Функция $ g_i(x_i)$ может иметь производную в точке $ x_i^0$ , равную некоторому числу $ g'_i(x^0_i)$ . Это число называют частной производной функции $ f$ по переменной $ x_i$ , вычисленной в точке $ x^0$ . Эта частная производная обозначается $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ или $ f'_{x_i}(x^0)$ .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции $ f$ в точке $ x^0$ , вычисленные по разным переменным $ x_i$ и $ x_j$ , могут быть различными, так что обозначение типа $ f'(x)$ , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции $ f$ по некоторой переменной $ x_i$ , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме $ x_i$ (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной $ x_i$ . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку $ x=x^0$ , в которой вычисляется значение частной производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ , переменной точкой области $ {\Omega}$ и предполагая, что во всех точках $ x=x^0$ эта производная существует, мы получаем, что частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$  -- это функция, заданная в области $ {\Omega}$ (или в её части, если производная существует не везде в $ {\Omega}$ ).

Поскольку частную производную функции $ f$ можно вычислять по каждой из $ n$ переменных $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ , то функция $ f$ имеет $ n$ частных производных

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x);\ \dots;\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x).$

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции $ f$ . Итак, функция $ n$ переменных имеет $ n$ частных производных первого порядка.

     

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

  Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям