Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Частные производные высших порядков

Мы уже заметили, что частные производные первого порядка $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства $ n$ переменных $ x_1,\ \dots,\ x_n$ . От каждой из этих функций $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ , в свою очередь, можно найти частные производные: $ n$ производных от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}$ :

 

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_1});\ ...
...1});\ %
\dots\ \frac{\partial}{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_1}),$

$ n$ производных от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$ :

 

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_2});\ ...
...2});\ %
\dots\ \frac{\partial}{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_2}),$

и так далее до $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_n}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}})$ ; всего получается $ n^2$ производных $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_j}}),$ где $ i,j=1,\dots,n$ . Производная $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_j}})$ обозначается также $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ или $ f''_{x_ix_j}$ . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции $ f$ .

Если $ i=j$ , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной $ x_i$ , что и первое, то частная производная второго порядка $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_i}}$ называется чистой частной производной второго порядка по переменной $ x_i$ и более кратко обозначается $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i^2}}$ .

Если же $ i\ne j$ , то частная производная второго порядка $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции $ f$ можно отыскать $ n$ чистых частных производных второго порядка и $ n^2-n$ смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ и $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_j\partial x_i}}$ , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не $ n^2-n$ , а вдвое меньше.

      

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

  Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1.2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

  1.3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям