Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Частные производные высших порядков

   Пример 7.13   Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

 

Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=3x_1^2x_2^2x_3^4;
\frac{\partial...
...partial x_2}=2x_1^3x_2x_3^4;
\frac{\partial f}{\partial x_3}=4x_1^3x_2^2x_3^3.$

Затем находим производные от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\p...
...=\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_1})=6x_1^2x_2x_3^4;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_3\pat x_1}=\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_1})=12x_1^2x_2^2x_3^3,$   

производные от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$ :

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\f...
...\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_2})=8x_1^3x_2x_3^3
$

и производные от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_3}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat
 x_3}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\...
...=\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_3})=8x_1^3x_2x_3^3;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_3^2}=\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_3})=12x_1^3x_2^2x_3^2.$   

    

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:

 

$\displaystyle \frac{\partial^3f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}=
\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_k}).$

Эти производные (их $ n^3$ штук) называются частными производными третьего порядка; от них можно найти частные производные четвёртого порядка

 

$\displaystyle \frac{\partial^4f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k\partial x...
...artial}{\partial x_i}(\frac{\partial^3f}{\partial x_j\partial x_k\partial x_l})$

и т. д.

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, $ \frac{\textstyle{\pat^5f}}{\textstyle{\pat x_1^3\pat x_2^2}}$ означает то же самое, что $ \frac{\textstyle{\pat^5f}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_1\pat x_1\pat x_2\pat x_2}}.$

        Пример 7.14   Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Поскольку

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}=6x_1^2x_2x_3^4,
$

имеем

 

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x_1^2\pat x_2}=
\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2})=12x_1x_2x_3^4.$

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям