Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Математика Дифференцируемость функции и дифференциал

 

Пусть функция $ f(x)$ задана в некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , и $ x^0$  -- внутренняя точка этой области. Пусть $ x$  -- произвольная точка этой же области $ {\Omega}$ . Разность $ {\Delta}x=x-x^0$ называется приращением аргумента $ x$ ; $ {\Delta}x=({\Delta}x_1;\dots;De x_n$ , где $ {\Delta}x_i=x_i-x^0_i$ . Разность значений функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x^0)$ называется приращением, или полным приращением функции $ f$ в точке $ x^0$ , соответствующим приращению аргумента $ {\Delta}x$ ; $ {\Delta}f={\Delta}f(x^0;{\Delta}x)$  -- это функция от точки $ x^0$ и приращения $ {\Delta}x$ .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n+{\alpha}(x^0;{\Delta}x),$(7.2)

где $ D_1(x^0),\dots,D_n(x^0)$  -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от $ {\Delta}x$ , но могут измениться, если сменить точку $ x^0$ . Относительно величины $ {\alpha}(x^0;{\Delta}x)$ мы предположим, что это функция, при базе $ {\Delta}x\to0$ являющаяся величиной большего порядка малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

 

$\displaystyle \lim_{\vert{\Delta}x\vert\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{\vert{\Delta}x\vert}=0.$

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента $ {\Delta}x$ , если точка $ x^0$ фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно $ \vert{\Delta}x\vert$ означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

23.5. Интегральный признак Коши.

 Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … =  и несобственный интеграл  одинаковы в смысле сходимости.

  Пример. Ряд  сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл  сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд  называется общегармоническим рядом.

  Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и  то интегралы  и  ведут себя одинаково в смысле сходимости.

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям