Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Связь дифференциала с частными производными

        Теорема 7.9   Пусть функция $ f$ дифференцируема в точке $ x^0$ . Докажем, что тогда в точке $ x^0$ существуют частные производные по всем переменным $ x_i$ , причём если

 

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n,$

то

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=D_i(x^0).$(7.3)

        Доказательство.     Рассмотрим приращения вида $ {\Delta}x=({\Delta}x_1;0;\dots;0)$ , где $ {\Delta}x_1\ne0$ . Тогда $ \vert{\Delta}x\vert=\vert{\Delta}x_1\vert$ и $ \vert{\Delta}x\vert\to0$ при $ {\Delta}x_1\to0$ . Поскольку $ {\Delta}x_2=0,\ \dots,\ {\Delta}x_n=0$ , приращение функции имеет вид

 

$\displaystyle {\Delta}f=D_1(x^0){\Delta}x_1+{\alpha}(x^0;{\Delta}x).$

Разделив обе части на $ {\Delta}x_1$ и переходя к пределу при $ {\Delta}x_1\to0$ , получаем:

 

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x_1\to0}\frac{{\Delta}f}{{\Delta}x_1}=D_1(x^0)+
\lim_{{\Delta}x_1\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{{\Delta}x_1}.$

Второе слагаемое даёт 0, поскольку

 

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x_1\to0}\bigl\vert\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{{\...
...lta}x\vert\to0}\frac{\vert{\alpha}(x^0;{\Delta}x)\vert}{\vert{\Delta}x\vert}=0,$

по предположению о дифференцируемости.

Левая часть же даёт частную производную по $ x_1$ , поскольку точка $ x^0+{\Delta}x$ при приращении указанного вида находится на прямой, проходящей через точку $ x^0$ параллельно оси $ Ox_1$ . Значит,

 

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x_1\to0}\frac{{\Delta}f}{{\Delta}x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0).$

Итак, доказали, что частная производная по $ x_1$ существует, и

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)=D_1(x^0).$

Совершенно аналогично доказывается существование частных производных по $ x_2,\dots, x_n$ и равенства (7.3) при $ i=2,\dots,n$ , если рассматривать ненулевые приращения лишь по какой-либо из остальных переменных.     

Итак, доказанная теорема позволяет записать дифференциал функции в виде

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0){\Delta}x_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0){\Delta}x_n.$(7.4)

Эта формула выражает дифференциал через частные производные первого порядка.

Заметим, что если взять функцию $ f$ равной какой-нибудь координате,

 

$\displaystyle f(x)=x_i,$

то, очевидно,

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}=1;\ \frac{\partial f}{\partial x_j}=0$ при $\displaystyle j\ne i,$

так что по формуле (7.4) получаем:

 

$\displaystyle df=dx_i=1\cdot{\Delta}x_i={\Delta}x_i:$

приращение $ {\Delta}x_i$ координаты $ x_i$ и её дифференциал $ dx_i$ совпадают. Поэтому формулу (7.4) можно записать в виде

$\displaystyle df(x^0;dx)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)dx_n,$(7.5)

где $ dx=(dx_1;\dots;dx_n).$

  

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям