Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Связь дифференциала с частными производными

      Пример 7.15   Найдём дифференциал функции трёх переменных

 

$\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$

Поскольку

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=3x_1^2x_2^2x_3;\ %
\frac{\partial f}{\partial x_2}=2x_1^3x_2x_3;\ %
\frac{\partial f}{\partial x_3}=x_1^3x_2^2,
$

то по формуле (7.5) получаем:

 

$\displaystyle df(x;dx)=(3x_1^2x_2^2x_3)dx_1+(2x_1^3x_2x_3)dx_2+(x_1^3x_2^2)dx_3.$

    

Выше мы видели, что, во-первых, наличие частных производных функции в какой-либо точке не гарантирует непрерывности функции в этой точке, а во-вторых, что из дифференцируемости функции следует её непрерывность. Отсюда следует, что из возможности записать правую часть последней формулы ещё не следует существование левой части: функция может оказаться не дифференцируемой, даже если все частные производные существуют.

Однако имеет место следующая теорема, дающая достаточное условие дифференцируемости функции.

3.5. Свойства эквивалентных бесконечно малых.

            1) a ~ a,   

            2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,     

            3) Если a ~ b, то b ~ a,          

       4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и   или .

Следствие:  а) если a ~ a1  и , то и

                                б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

            Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

            Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

            Пример. Найти предел

            Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

            Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

            Пример.  Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

.

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям