Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Курс лекций Производная сложной функции

Пусть $ {\omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^m$ , в которой заданы $ n$ функций $ g_i(u)$ , $ u\in{\omega}$ . Предположим, что все значения вектор-функции

 

$\displaystyle x=g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$

лежат в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , в которой задана функция $ f(x)$ . Тогда можно определить композицию (или сложную функцию) $ h=f\circ g$ :

 

$\displaystyle h(u)=f(g(u)),$

определённую при $ u\in{\omega}$ .

        Теорема 7.11   Пусть $ u^0$  -- внутренняя точка области $ {\omega}$ . Если в описанной ситуации функции $ g_i(u)$ имеют в точке $ u^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial g_i}{\partial u_j}}(u^0)$ по переменной $ u_j$ , а функция $ f$ имеет в точке $ x^0=g(u^0)$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ по всем переменным $ x_i$ , то сложная функция $ h=f\circ g$ имеет в точке $ u^0$ частную производную по $ u_j$ , равную

$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u_j}(u^0)=
 \frac{\partial f}{\partial...
...s+
 \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\frac{\partial g_n}{\partial u_j}(u^0).$(7.7)

В частности, если $ m=1$ и $ {\omega}$  -- интервал вещественной оси $ Ot$ и функции $ x_i=g_i(t)$ зависят от единственного переменного $ t$ , то

$\displaystyle h'(t)=
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(t))g_1'(t)+
 \frac{\par...
...artial x_2}(g(t))g_2'(t)+\ldots+
 \frac{\partial f}{\partial x_n}(g(t))g_n'(t).$(7.8)

Для доказательства достаточно выписать приращения функций и перейти к пределу при $ {\Delta}u_j\to0$ . В случае затруднений в таком упражнении читатель может найти подробное доказательство (в случае $ n=3$ ) в учебнике
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991. -- С. 263 - 264.

Производная $ \frac{\textstyle{dy}}{\textstyle{dt}}=y'_t$ от функции $ y=h(t)=f(g(t))$ , вычисленная по формуле (7.8), называется полной производной от $ y$ по $ t$ , в отличие от частных производных от $ y$ по промежуточным переменным $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ .   

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям