Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Курс лекций Производная сложной функции

   Пример 7.16   Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

 

Рассмотрим функцию

 

$\displaystyle y=f(x_1;x_2;x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

и найдём производные величины $ y$ по переменным $ u_1$ и $ u_2$ , то есть производные композиции $ f(x(u))$ .

Поскольку

 

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x_1}}=2x_1;
\displaysty...
...al y}{\partial x_2}}=2x_2;
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x_3}}=2x_3$

и

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_1}{\partial u_1}}=2\sin u_1\cos u_...
...al u_1}}=\cos u_1\cos u_2;
 \displaystyle{\frac{\partial x_3}{\partial u_1}}=0;$   
$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_1}{\partial u_2}}=0;
 \displaystyl...
... \displaystyle{\frac{\partial x_3}{\partial u_2}}=-2\cos u_2\sin u_2=-\sin2u_2,$   

то по формуле (7.7) получаем:

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u_1}=
 \frac{\partial y}{\partial x_1}...
...artial u_1}+
 \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial u_1}=$   
$\displaystyle =2\sin^2u_1\cdot2\sin u_1\cos u_1+2\sin u_1\cos u_2\cdot\cos u_1\cos u_2+
 2\cos^2u_2\cdot0=$   
$\displaystyle =2\sin^3u_1\cos u_1+2\sin u_1\cos u_1\cos^2u_2;$   

и

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u_2}=
 \frac{\partial y}{\partial x_1}...
...artial u_2}+
 \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial u_2}=$   
$\displaystyle =2\sin^2u_1\cdot0+2\sin u_1\cos u_2\cdot(-\sin u_1\sin u_2)+
 2\cos^2u_2\cdot(-2\cos u_2\sin u_2)=$   
$\displaystyle =-2\sin^2u_1\sin u_2\cos u_2-2\cos^3u_2\sin u_2.$   

тличие от частных производных от $ y$ по промежуточным переменным $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$

24.4. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

 Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

 5) Если ряды и  сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида  взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов.

 Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям