Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла .

Курс лекций Инвариантность дифференциала

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

 

$\displaystyle dy=
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+
\frac{\partial f}{\...
...l f}{\partial x_n}(x)dx_n=
\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy=
 \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+
 \frac{\partial h}{\...
...tial h}{\partial u_n}(u)du_n=
 \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl(
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\...
... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))
 \Bigl(
 \su...
...
 dg_i(u;du)=
 \sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u))
 dx_i(u;du).$   

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для $ dy$ в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных $ x_i$ теперь стоят дифференциалы функций $ x_i=g_i(u)$ . Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

 

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n
\frac{\partial y}{\partial x_i}(x)
dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли $ x_i$ независимыми или же промежуточными переменными.

20.3. Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 нормаль касательная плоскость

 Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

            Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

            В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

            Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

.

            Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

            Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

            Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

            Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

            Уравнение касательной плоскости:

            Уравнение нормали:

 

Лекция 22. Числовые ряды.

22.1. Основные определения.

 Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

При этом числа  будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

            Определение. Суммы ,     n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

            Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

            Определение. Ряд  называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

            Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

1.4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

.5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1.6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1.7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям