Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение: .

Курс лекций Равенство смешанных частных производных

Ранее мы отмечали, что при некоторых дополнительных предположениях частные производные высших порядков, отличающиеся лишь порядком дифференцирований, совпадают. Теперь мы уточним эти предположения и сформулируем утверждение о равенстве смешанных производных. Оказывается, достаточно предположить непрерывность этих смешанных производных.

        Теорема 7.12   Пусть функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , причём в некоторой окрестности $ B^{x^0}_{{\delta}}$ ($ {\delta}>0$ ) точки $ x^0\in{\Omega}$ существуют смешанные частные производные

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x)$ и $\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x), \ i\ne j,$

и обе эти производные непрерывны в точке $ x^0$ . Тогда эти смешанные производные совпадают в точке $ x^0$ :

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)=
\frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0).$

        Доказательство.     Пусть $ e_i$ и $ e_j$  -- единичные базисные векторы в $ \mathbb{R}^n$ вида $ (0;\dots;0;1;0;\dots;0)$ , где 1 стоит, соответственно, на $ i$ -м и $ j$ -м местах. Пусть $ {\Delta}x_i\ne0$ и $ {\Delta}x_j\ne0$ (для определённости будем далее считать, что $ {\Delta}x_i>0$ и $ {\Delta}x_j>0$ ). Рассмотрим приращения

 

$\displaystyle {\Delta}x^{(i)}={\Delta}x_ie_i=(0;\dots;0;{\Delta}x_i;0;\dots;0)$ и $\displaystyle {\Delta}x^{(j)}={\Delta}x_je_j=(0;\dots;0;{\Delta}x_j;0;\dots;0)$

и будем считать, что числа $ {\Delta}x_i$ и $ {\Delta}x_j$ достаточно малы, так что точка $ x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)}$ лежит в окрестности $ B^{x^0}_{{\delta}}$ .

Положим

 

$\displaystyle D=f(x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)})-
f(x^0+{\Delta}x^{(i)})-
f(x^0+{\Delta}x^{(j)})+f(x^0)$

и введём две функции:

 

$\displaystyle g^{(i)}(x)=f(x+{\Delta}x^{(i)})-f(x)$ и $\displaystyle g^{(j)}(x)=f(x+{\Delta}x^{(j)})-f(x).$

Тогда

$\displaystyle D=[f(x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)})-
 f(x^0+{\Delta}x^{(j)})]-
 [f(x^0+{\Delta}x^{(i)})-f(x^0)]=$   
$\displaystyle =g^{(i)}(x^0+{\Delta}x^{(j)})-g^{(i)}(x^0)=
 {\Delta}g^{(i)}$   

и

$\displaystyle D=[f(x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)})-
 f(x^0+{\Delta}x^{(i)})]-
 [f(x^0+{\Delta}x^{(j)})-f(x^0)]=$   
$\displaystyle =g^{(j)}(x^0+{\Delta}x^{(i)})-g^{(j)}(x^0)={\Delta}g^{(j)}.$   

Полученные разности $ {\Delta}g^{(i)}$ и $ {\Delta}g^{(j)}$ тождественно равны друг другу. Применим к первой из них теорему Лагранжа на отрезке $ [x^0_j;x_j^0+{\Delta}x_j]$ по переменной $ x_j$ :

$\displaystyle D={\Delta}g^{(i)}=g^{(i)}(x^0+{\Delta}x^{(j)})-g^{(i)}(x^0)=
 \frac{\partial g^{(i)}}{\partial x_j}(x^0+te_j){\Delta}x_j=$   
$\displaystyle =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j+{\Delta}x^{(i)})-
 \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j)\Bigr){\Delta}x_j,$   

где $ t\in[0;{\Delta}x_j]$  -- некоторая промежуточная точка. Аналогично, применяя ко второй из разностей, $ {\Delta}g^{(j)}$ , теорему Лагранжа на отрезке $ [x^0_i;x_i^0+{\Delta}x_i]$ по переменной $ x_i$ , получаем

$\displaystyle D={\Delta}g^{(j)}=g^{(j)}(x^0+{\Delta}x^{(i)})-g^{(j)}(x^0)=
 \frac{\partial g^{(j)}}{\partial x_i}(x^0+te_i){\Delta}x_i=$   
$\displaystyle =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i+{\Delta}x^{(j)})-
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i)\Bigr){\Delta}x_i,$   

где $ s\in[0;{\Delta}x_i]$  -- некоторая промежуточная точка. (Попутный вопрос к читателю: почему к функциям $ g^{(i)}$ и $ g^{(j)}$ можно было применять теорему Лагранжа, и почему получились именно такие выражения, как написано выше?)

К получившимся в правых частях разностям частных производных

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j+{\Delta}x^{(i)})-
\frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j)$

и

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+te_i+{\Delta}x^{(j)})-
\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i)$

снова применим теорему Лагранжа и получим

 

$\displaystyle D=\frac{\partial}{\partial x_i}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+s_1e_i+te_j)\Bigr){\Delta}x_i{\Delta}x_j,$

где $ s_1\in[0;{\Delta}x_i]$ , и

 

$\displaystyle D=\frac{\partial}{\partial x_j}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i+t_1e_j)\Bigr){\Delta}x_i{\Delta}x_j,$

где $ t_1\in[0;{\Delta}x_j]$ , и, следовательно,

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0+s_1e_i+te_j){\Delta}x_i{\Delta}x_j=
\frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0+se_i+t_1e_j){\Delta}x_i{\Delta}x_j.$

(Снова продумайте вопрос о том, почему можно было применять теорему Лагранжа.) Так как по предположению $ {\Delta}x_i\ne0$ и $ {\Delta}x_j\ne0$ , то на $ {\Delta}x_i{\Delta}x_j$ можно левую и правую части поделить и получить

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0+s_1e_i+te_j)=
\frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0+se_i+t_1e_j).$

При $ {\Delta}x_i\to0$ и $ {\Delta}x_j\to0$ величины $ s,s_1$ и $ t,t_1$ стремятся к 0. Поэтому, переходя к пределу при $ {\Delta}x_i\to0$ и $ {\Delta}x_j\to0$ в обеих частях последнего равенства, получаем

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)=
\frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0)$

в силу того, что, по предположению теоремы, обе смешанные частные производные непрерывны в точке $ x^0$ . Итак, теорема доказана.     

Из доказанной теоремы вытекает такое следствие:

    

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям