Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение: .

Курс лекций Теорема о неявной функции

 

        Теорема 7.13   Пусть $ {\Omega}$  -- открытое множество в пространстве $ {\mathbb{R}^{m+n}=\mathbb{R}^m_x\times\mathbb{R}^n_y}$ (то есть точки области $ {\Omega}$ обозначаются $ {(x;y)}$ , где $ {x=(x_1;\dots;x_m)\in\mathbb{R}^m}$ и $ {y=(y_1;\dots;y_n)\in\mathbb{R}^n}$ ). Пусть $ {(x^0;y^0)\in{\Omega}}$ и в $ {\Omega}$ заданы $ n$ функций $ {g_i(x;y)}$ ($ {i=1,\dots,n}$ ), таких что $ {g_i(x^0;y^0)=0}$ , причём все функции $ g_i$ и все их частные производные $ {\displaystyle{\frac{\partial g_i}{\partial x_j}}(x;y)}$ и $ {\displaystyle{\frac{\partial g_i}{\partial y_k}}(x;y)}$ ($ {j=1,\dots,m}$ ; $ {j=1,\dots,n}$ ) непрерывны в $ {\Omega}$ .

Рассмотрим квадратную матрицу из частных производных функций $ g_i$ по переменным $ y_k$ , вычисленным в точке $ (x^0;y^0)$ :

 

$\displaystyle J(x^0;y^0)=\Bigl(\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(x^0;y^0)\Bigr)_{i,k=1,\dots,n}$

и предположим, что эта матрица не вырождена:

 

$\displaystyle \det J(x^0;y^0)\ne0.$

Тогда в некотором шаре $ B^{x^0}_r\sbs\mathbb{R}^m_x$ (где $ r>0$ ) существуют и единственны функции $ f_i(x)$ , непрерывные и имеющие непрерывные частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}}(x)$ в шаре $ B^{x^0}_r$ , такие что

 

$\displaystyle f_i(x^0)=y_i^0$

и

 

$\displaystyle g_i(x;f(x))=0$

при всех $ x\in B^{x^0}_r$ , $ i=1,\dots,n$ , где $ f(x)=(f_1(x);\dots;f_n(x))$ .     

Рассмотренная квадратная матрица $ J(x;y)$ , составленная из производных функций $ g_i$ по переменным $ y_k$ , называется матрицей Якоби вектор-функции $ g=(g_1;\dots;g_n)$ по переменным $ y=(y_1;\dots;y_n)$ и часто обозначается $ \displaystyle{\frac{\partial(g_1,\dots,g_n)}{\partial(y_1,\dots,y_n)}}$ или просто $ \displaystyle{\frac{\partial g}{\partial y}}$ . Её определитель $ \det J$ называется якобианом вектор-функции $ g$ по переменным $ y$ .

Утверждение теоремы означает, что векторное равенство $ g(x;y)=0$ задаёт, при выполнении предположения теоремы, некоторую вектор-функцию $ f(x)$ , такую что $ g(x;f(x))=0$ , то есть из условия $ g(x;y)=0$ можно выразить $ y$ через $ x$ , если якобиан от $ g$ по $ y$ не равен 0. При этом говорят, что уравнение $ g(x;y)=0$ неявно задаёт функцию $ f(x)$ .

 

Отметим, что эта теорема содержательна и нетривиальна уже при $ m=1$ и $ n=1$ . Тогда её можно сформулировать так:

        Теорема 7.14   Если функция $ g(x;y)$ двух переменных $ x,y\in\mathbb{R}$ определена и непрерывна в некоторой окрестности $ B_r$ точки $ (x^0;y^0)\in\mathbb{R}^2$ , причём $ g(x^0;y^0)=0$ и $ \displaystyle{\frac{\partial g}{\partial y}}(x^0;y^0)=\ne0$ , то существует такая функция $ y=f(x)$ , определённая хотя бы в малой окрестности $ E_{{\delta}}$ точки $ x^0$ , что $ g(x;f(x))=0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$ . При этом функция $ f$ имеет непрерывную производную при $ x\in E_{{\delta}}$ .     

Рис.7.15.



Отметим также, что важнейшим условием в теореме является требование невырожденности матрицы Якоби; в одномерном случае (то есть при $ m=n=1$ ) оно сводится к выполнению неравенства

 

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x^0;y^0)\ne0.$

Если это условие нарушается в точке $ (x^0;y^0)$ , то заключение теоремы может оказаться неверным, как показывает следующий пример.

     

    

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям