Легкий вариант написания курсовой работы существует курсовая работа на заказ. Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение: .

Курс лекций Теорема о неявной функции

   Пример 7.18   Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

 

($ x\in\mathbb{R},\ y\in\mathbb{R}$ ). Это уравнение не задаёт никакой функции $ y=f(x)$ , поскольку множество $ \{g(x;y)=0\}\sbs\mathbb{R}^2$ состоит из одной точки $ (0;0)$ и поэтому не может быть графиком функции $ y=f(x)$ на некотором интервале оси $ Ox$ , содержащем точку $ x=0$ : множество $ \{g(x;y)=0\}$ "слишком мало", чтобы быть графиком.

Однако условие теоремы о неявной функции для такой функции $ g(x;y)$ не выполнено:

 

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(0;0)=2y\Bigr\vert _{x=y=0}=0.$

    

Вот ещё один пример, в котором, напротив, множество $ \{g(x;y)=0\}$ "слишком велико", чтобы быть графиком:

10.3. Теорема Коши.

( Огюстен Коши (1789-1857)- французский математик)

            Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

            Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

            Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

            Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.

, то

            А т.к. , то

Теорема доказана.

Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям