Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение: .

Курс лекций Производные неявно заданной функции

Пусть дана дифференцируемая функция $ f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)$ , для которой в некоторой точке $ x^0=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0;x_n^0)$ выполнено неравенство

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\ne0.$

Тогда в некоторой окрестности точки $ x^0$ уравнение

 

$\displaystyle f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)=0$

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию $ {x_n={\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})}$ , заданную вблизи точки $ x^*=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0)$ в $ \mathbb{R}^{n-1}$ .

Пусть требуется найти её частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}}(x^*)$ , $ i=1;\dots;n-1$ . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

 

$\displaystyle F(x_1;\dots;x_{n-1})=f(x_1;\dots;x_{n-1};{\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})),$

которая тождественно равна 0 в окрестности точки $ x^*$ ; следовательно, и все её частные производные в точке $ x^*$ обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции $ F$ , переменную $ t=x_i$ , где $ i=1,\dots,n-1$ , получаем по формуле $ F'_t=f'_{x_1}\cdot(x_1)_t'+\ldots+f'_{x_{n-1}}\cdot(x_{n-1})'_t$ :

 

$\displaystyle 0=f'_{x_i}\cdot1+f'_{x_n}\cdot(x_n)'_{x_i}$

(производные $ (x_j)'_{x_i}$ равны 0 при $ j\ne i$ , $ j\ne n$ ), то есть

 

$\displaystyle f'_{x_i}(x^0)+f'_{x_n}(x^0)\cdot{\varphi}'_{x_i}(x^*)=0,$

откуда

 

$\displaystyle {\varphi}'_{x_i}(x^*)=-\frac{f'_{x_i}(x^0)}{f'_{x_n}(x^0)},$

или

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}(x_1^0;\dots;x^0_{n-1})=
 -...
...^0_{n-1};x^0_n)}
 {\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^1;\dots;x^0_{n-1};x^0_n)}.$(7.9)

Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции $ {\varphi}$ , не имея задающего её явного выражения.

 

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям