Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение: .

Курс лекций Производные неявно заданной функции

 

    Пример 7.20   Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

 

в окрестности точки $ (1;2;1)$ (проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные $ {\varphi}'_x(1;2)$ и $ {\varphi}'_y(1;2)$ . Поскольку для функции

 

$\displaystyle f(x;y;z)=x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2$

частные производные равны

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2yz+y^2z^3-4xy^2z^4;
\frac{\par...
...}=x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4;
\frac{\partial f}{\partial z}=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3$

$ \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;1)=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3\Bigr\vert _{x=1,y=2,z=1}=-18\ne0,$ так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле (7.9) получаем:

 

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\pa...
...rtial f}{\partial z}}=
-\frac{x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4}{x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3}.$

Подставляя координаты точки (1;2;1), находим:

 

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}(1;2)=
-\frac{6+4-16}{2+12-3...
...frac{\partial{\varphi}}{\partial y}(1;2)=
-\frac{1+4-8}{2+12-32}=-\frac{1}{6}.$

7.4. Производная обратных функций.

 Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

 Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g¢(y) ¹

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

  Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

 Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

  Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям