Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку, критерий Коши (формула (3)) для несобственных интегралов от разрывных функций в практических целях мало пригоден (используется иногда для установления расходимости). Тем не менее, определим этот критерий для несобственных интегралов второго рода. Итак, пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b), интегрируема на любом отрезке [a, c], с<b, и неограниченна в левой окрестности точки x=b. Тогда для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовало такое число , чтобы при любых   и , принадлежащих интервалу , выполнялось соотношение: .

Курс лекций Выпуклые множества и функции

Выше мы дали определение выпуклого множества: напомним, что множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$  -- выпуклое, если вместе с любыми двумя точками $ x^0,\ x^1\in{\Omega}$ множеству $ {\Omega}$ принадлежат все точки $ x^t$ отрезка, соединяющего в пространстве $ \mathbb{R}^n$ точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ . Заметим, что отрезок, состоящий из точек $ x^t$ , можно параметризовать следующим образом: $ x^t={\gamma}(t)=x^0+t(x^1-x^0).$ Тогда при $ t=0$ будет получаться точка $ {\gamma}(0)=x^0$ , при $ t=1$  -- точка $ {\gamma}(t)=x^1$ , а при $ t\in(0;1)$  -- промежуточные точки отрезка, так что обозначения точек отрезка как $ x^t$ будут согласованы с обозначениями его концов.

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости $ \mathbb{R}^2$ : одно выпуклое, а другое нет.

Рис.7.17.



Выпуклыми в пространстве $ \mathbb{R}^n$ являются, например, такие множества: всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , его положительный октант $ \{x=(x_1;\dots;x_n):x_i>0,\ i=1,\dots,n\}$ и неотрицательный октант $ \mathbb{R}^n_+=\{x=(x_1;\dots;x_n):x_i\geqslant 0,\ i=1,\dots,n\}$ , любой шар, как открытый $ {B^{x^0}_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert<r\}}$ , так и замкнутый $ \{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert\leqslant r\}$ , любая гиперплоскость $ \Pi$ (заданная некоторым уравнением вида $ c_1x_1+\dots+c_nx_n+d=0$ , а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями $ c_1x_1+\dots+c_nx_n+d>0$ и $ c_1x_1+\dots+c_nx_n+d\geqslant 0$ .

        Упражнение 7.8   Докажите утверждения о выпуклости всех перечисленных множеств.     

Заметим также, что, согласно определению, выпуклы также все одноточечные множества $ \{x^0\}$ и пустое множество $ \varnothing $ .

        Теорема 7.15   Если все множества $ {\Omega}_{{\alpha}}\sbs\mathbb{R}^n$ некоторого семейства $ \{{\Omega}_{{\alpha}}\}$ выпуклы, то выпукло и их пересечение

 

$\displaystyle {\Omega}=\bigcap_{{\alpha}}{\Omega}_{{\alpha}}.$

        Доказательство.     Пусть точки $ x^0$ и $ x^1$ принадлежат $ {\Omega}$ ; тогда обе они принадлежат каждому из множеств $ {\Omega}_{{\alpha}}$ . Значит, если $ x^t$  -- произвольная точка отрезка, соединяющего $ x^0$ и $ x^1$ , то она принадлежит $ {\Omega}_{{\alpha}}$ , поскольку $ {\Omega}_{{\alpha}}$ выпукло. Но так как $ x^t\in{\Omega}_{{\alpha}}$ для всех $ {\alpha}$ , то $ x^t\in\bigcap\limits_{{\alpha}}{\Omega}_{{\alpha}}={\Omega}$ , что и требовалось доказать.     

Из этой теоремы следует, например, что прямая в $ n$ -мерном пространстве (её можно задать как векторным уравнением: $ x=a+bt$ , где $ a,b\in\mathbb{R}^n$  -- фиксированные векторы, а $ t\in\mathbb{R}$  -- параметр, так и в виде пересечения гиперплоскостей $ \Pi_1,\dots,\Pi_{n-1}$ ) является выпуклым множеством. Действительно, каждая гиперплоскость $ \Pi_j$  -- выпуклое множество.

Проколотая окрестность любой точки $ x^*$ , то есть множество $ B^{x^*}_{{\delta}}\diagdown \{x^*\}$ ($ {\delta}>0$ ), не является выпуклым. Чтобы показать это, достаточно выбрать любой ненулевой вектор $ d\in\mathbb{R}^n$ длины меньше $ {\delta}$ и рассмотреть точки проколотой окрестности $ x^0=x^*-d$ и $ x^1=x^*+d$ , расположенные симметрично относительно точки $ x^*$ . Тогда середина отрезка, соединяющего $ x^0$ с $ x^1$ , то есть точка $ x^{\frac{1}{2}}$ , совпадает с $ x^*$ и, следовательно, не лежит в проколотой окрестности точки $ x^*$ .

Если $ n=1$ , то есть речь идёт о подмножествах прямой $ \mathbb{R}=\mathbb{R}^1$ , то выпуклые множества можно описать полностью: это а) пустое множество; б) все одноточечные множества; в) все интервалы вида $ (a;b)$ (где $ a$ может равняться $ -\infty$ , а $ b$ может равняться $ +\infty$ ); г) все полуинтервалы вида $ (a;b]$ (где $ a$ может равняться $ -\infty$ ) и $ [a;b)$ (где $ b$ может равняться $ +\infty$ ); наконец, д) все отрезки вида $ [a;b]$ . Никаких других выпуклых множеств на прямой нет.

        Упражнение 7.9   Докажите утверждение о виде всех выпуклых множеств на прямой.     

Напомним изученное в первом семестре определение выпуклой функции одного вещественного переменного.

 

 1.8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1.9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда   и получим:  =.

1.10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

  Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям