Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Главные значения расходящихся несобственных интегралов К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Курс лекций Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулу

 

$\displaystyle f(x)-f(x^0)=df(x^0;dx)+{\alpha}(x^0;dx),$

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

 

$\displaystyle f(x)-f(x^0)\approx df(x^0;dx),$

если считать (при малых $ \vert dx\vert$ ) значение бесконечно малой величины $ {\alpha}(x^0;dx)$ много меньшим, чем $ \vert dx\vert$ . Перенося $ f(x^0)$ в правую часть, получаем:

 

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+df(x^0;dx),$

где $ x=x^0+dx$ . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

 

$\displaystyle f(x^0+dx)\approx f(x^0)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)dx_n.$

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции $ f$ в точках $ x=x^0+dx$ , если известны значения $ f$ и её частных производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ в точке $ x^0$ .

8.2. Геометрический смысл дифференциала.

 

            Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

8.3. Свойства дифференциала.

            Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

d(Cu) = Cdu

 

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. .

Решение. .

 2.2. .

Решение.

.

  2.3. .

Решение. .

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям