Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

 

 Пример 7.28   Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

 

$\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

в точке $ (4;4;z_0)$ .

Рис.7.27.



Вычислим частные производные функции

 

$\displaystyle f(x;y)=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4};$

они равны

 

$\displaystyle f'_x(x;y)=\frac{x}{8};\ f'_y(x;y)=\frac{y}{2}.$

Их значения в точке $ M_0(4;4)$ равны

 

$\displaystyle f'_x(4;4)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2};\ f'_y(4;4)=\frac{4}{2}=2.$

Сама функция в точке $ M_0$ принимает значение

$\displaystyle z_0=f(4;4)=\frac{4^2}{16}-\frac{4^2}{4}=1+4=5.$

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности можно записать в виде

 

$\displaystyle \frac{1}{2}(x-4)+2(y-4)-(z-5)=0;$

раскрывая скобки и умножая на 2, приводим это уравнение к виду

 

$\displaystyle x+4y-2z-10=0.$

Уравнения нормальной прямой можно записать в каноническом виде:

 

$\displaystyle \frac{x-4}{\frac{1}{2}}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{-1}.$

Пример: Найти предел .

;

.

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

 Пример: Найти предел .

;

;

 Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

 Пример: Найти предел .

;

  - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;

  - применяем правило Лопиталя еще раз.

;

;

  Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

 Пример: Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

 Пример: Найти предел .

- получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

;

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Решение. Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

  - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой  и гиперболой  на отрезке .

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям