Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

 

 Пример 7.29   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением

 

$\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

Найдём частные производные функции $ f(x;y;z)=x^2y+y^4z^2+xz^3-16:$

 

$\displaystyle f'_x=2xy+z^3;\ f'_y=x^2+4y^3z^2;\ f'_z=2y^4z+3xz^2.$

Заметим, что $ f'_z(2;-1;2)=28\ne0$ , так что рассматриваемое уравнение действительно задаёт некоторую функцию $ z={\varphi}(x;y)$ . Поскольку

 

$\displaystyle f'_x(2;-1;2)=4;\ f'_y(2;-1;2)=-12;\ f'_z(2;-1;2)=28,$

то

 

$\displaystyle {\varphi}'_x(2;-1)=-\frac{f'_x(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{4}{2...
...arphi}'_y(2;-1)=-\frac{f'_y(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{-12}{28}=\frac{3}{7}.$

5.4. Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

 Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)  где m – целое число.

  Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

  Для комплексно – сопряженного числа получаем:

  Из этих двух уравнений получаем:

  Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

  Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Решение. Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

  - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой  и гиперболой  на отрезке .

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям