| ||
3.4. Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если , то функция a
называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.
Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.
Определение. Если то функции a и
b называются эквивалентными бесконечно
малыми. Записывают a ~ b.
Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно
бесконечно малой функции b, если предел
конечен и отличен от нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать
между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.
Пример. Если , то при х®0
,
т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно
функции b.
Пример. Если , то при х®0
не существует, т.е. функция a и b
несравнимы.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Решение.
Точка является особой точкой, поскольку подынтегральная функция
имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:
- получили бесконечный предел.
Таким образом, данный интеграл расходится.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение.
Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных
прямой и гиперболой
на отрезке
.
.
Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям