
Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

Математика Определение градиента и стационарных точек функции

Пример 8.1 Рассмотрим функцию

, заданную на всей плоскости $\mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Поскольку

$\displaystyle f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4;\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3,$

то

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)=(2x_1+3x_2-4;3x_1+4x_2+3),$

а стационарные точки задаются системой уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4=0;\\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3=0. \end{array}\right.$

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1=18;\\ x_2=-25. \end{array}\right.$

Значит,

-- единственная стационарная точка этой функции.

3.4. Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.