Примеры вычисления интегралов

Интегрирование по частям Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то . Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл . Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и хb, е2х и sin b x, x и ln x, и arctg x и т.п.

Первообразная и неопределённый интеграл

Пусть на интервале $ (a;b)$ задана непрерывная функция $ f(x)$ , для которой нужно найти первообразную $ F(x)$ . Согласно определению первообразной, для этого нужно решить уравнение

$\displaystyle F'(x)=f(x),$(1.6)

найдя неизвестную функцию $ F(x)$ . Относительно этой неизвестной функции уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно приближённо решать разными способами, которые вы будете изучать в курсе дифференциальных уравнений. Опишем здесь простейший из них, называемый методом Эйлера. Вычислительная математика Метод простых итераций Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений.

Из всего семейства первообразных $ \{F(x)+C\}$ будем отыскивать ту первообразную, которая в некоторой фиксированной точке $ x_0\in(a;b)$ принимает фиксированное значение $ F(x_0)=y_0$ . Это условие выделяет из семейства первообразных одну функцию: все остальные первообразные $ G(x)=F(x)+C$ отличаются от этой фиксированной первообразной на постоянное слагаемое $ C\ne0$ и, следовательно, не удовлетворяют условию $ G(x_0)=y_0$ .

Заметим, что из уравнения (1.6) следует, что

 

$\displaystyle dF(x_0;dx)=F'(x_0)dx=f(x_0)dx;$

найденный дифференциал равен главной линейной части приращения функции:
$\displaystyle {\Delta}F(x_0;dx)=F(x_0+dx)-F(x_0)\approx dF(x_0;dx)=f(x_0)dx,$

откуда
$\displaystyle F(x_0+dx)\approx F(x_0)+f(x_0)dx=y_0+f(x_0)dx.$

Здесь мы учли начальное условие $ F(x_0)=y_0$ . Тем самым, взяв некоторое приращение независимого переменного $ x$ , равное $ dx\ne0$ , мы сможем приближённо найти значение первообразной $ F(x)$ в "соседней" точке $ x_1=x_0+dx$ :
$\displaystyle F(x_1)\approx y_0+f(x_0)dx.$

Начав аналогичные вычисления с точки $ x_1$ вместо $ x_0$ , получаем

 

$\displaystyle F(x_2)\approx F(x_1)+f(x_1)dx,$

где $ x_2=x_1+dx=x_0+2dx$ ; затем точно так же получаем

 

$\displaystyle F(x_3)\approx F(x_2)+f(x_2)dx,$

где $ x_3=x_2+dx=x_0+3dx$ , и т. д. По найденным в известных точках $ {x_1=x_0+dx}$ , $ {x_2=x_0+2dx}$ , $ x_3=x_0+3dx,\dots$ приближённым значениям первообразной $ F(x_1),\ F(x_2),\ F(x_3),\dots$ мы можем построить график функции $ y=F(x)$ (разумеется, приближённо, поскольку значения $ F(x)$ известны лишь приближённо). Выбирая $ dx>0$ , мы построим этот график при $ x\geqslant x_0$ , то есть на $ [x_0;b)$ , а повторив процесс при $ dx<0$ , построим часть графика на $ (a;x_0]$ .

Заметим, что шаг по оси $ x$ , то есть величину $ dx$ , не обязательно выбирать одинаковым на всех этапах: $ dx=h_i$ может зависеть от номера этапа $ i$ . Рекомендуется учитывать при этом выборе поведение функции $ f(x)$ и уменьшать шаг $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ увеличиваются, и увеличивать $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ уменьшаются, чтобы величины приращений $ {\Delta}F_i=F(x_{i+1})-F(x_i)$ были бы примерно одинаковы по абсолютной величине. Это даст возможность более точно построить график первообразной $ F(x)$ .

2.2. .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому .

2.3. .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: .

2.4..

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на дробь, сопряжённую её знаменателю:

.

2.5. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

 .