Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

Математика Свойства градиента и производной по направлению

 

Напомним, что для скалярного произведения $ a\cdot b$ двух векторов $ a$ и $ b$ выполнеяется равенство

 

$\displaystyle a\cdot b=\vert a\vert\vert b\vert\cos{\varphi},$ Вычислительная математика Градиентный метод

где $ {\varphi}$  -- угол между векторами $ a$ и $ b$ . Записав это равенство для векторов $ g=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $ \tau=\frac{a}{\vert a\vert}$ , получим, что

 

$\displaystyle g\cdot\tau=\vert g\vert\cos{\varphi},$

где $ {\varphi}$  -- угол между осью $ \ell$ и вектором $ g$ , поскольку $ \vert\tau\vert=1$ . Учитывая, что $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)=g\cdot\tau$ , получаем:

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert\cos{\varphi}.$

Поскольку величина модуля градиента не зависит от угла $ {\varphi}$ , а $ \cos{\varphi}$ может изменяться от $ -1$ до 1, получаем, что своё максимальное значение $ \vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert$ производная по направлению $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ принимает при $ {\varphi}=0$ (когда $ \cos{\varphi}=1$ ), то есть при условии, что направление оси $ \ell$ совпадает с направлением градиента. Минимальное значение производной по направлению, равное $ -\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert$ , получается при $ {\varphi}=\pi=180^{\circ}$ (когда $ \cos{\varphi}=-1$ ), то есть при оси $ \ell$ , направленной противоположно вектору $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ .

Заметим также, что $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)=0$ , если ось $ \ell$ направлена перпендикулярно вектору $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ : тогда $ {\varphi}=\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=90^{\circ}$ и $ \cos{\varphi}=0$ . Верно и обратное: если $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\ne0$ , то $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)=0$ , только если ось $ \ell$ направлена перпендикулярно вектору $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ .

Поскольку значение $ \cos{\varphi}$ можно, соответствующим образом выбрав угол $ {\varphi}$ , сделать равным любому числу из отрезка $ [-1;1]$ , то значение производной по направлению принимает любые значения на отрезке $ \Bigl[-\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert;\vert(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\vert\Bigr].$

        Определение 8.3   Пусть функция $ f(x)$ задана в некоторой области пространства $ \mathbb{R}^n$ , $ n\geqslant 2$ . Поверхность в пространстве $ \mathbb{R}^n$ , определённая уравнением $ f(x)=C$ , где $ C$  -- постоянная, называется поверхностью уровня $ C$ функции $ f(x)$ . Если $ n=2$ , то множество, заданное уравнением $ f(x)=0$ , называется линией уровня.     

       

    

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Решение. Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

  - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой  и гиперболой  на отрезке .

.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям