Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов I рода Интегрирование простейших тригонометрических функций Предел и непрерывность функции одной переменной<

Высшая математика Примеры рещения задач

 Пример 8.9   Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Линия уровня задаётся уравнением

 

$\displaystyle 2x^2y^3+xy^4=3.$

Касательная к этой линии уровня имеет вид

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+
\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0)=0,$

а нормаль (напомним, что нормаль -- это прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательно) можно задать уравнением вида

 

$\displaystyle \frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)}=
\frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)}.$

Вычисляем значения частных производных:

 

$\displaystyle f'_x=4xy^3+y^4;\ f'_y=6x^2y^2+4xy^3;$

 

$\displaystyle f'_x(M_0)=4+1=5;\ f'_y(M_0)=6+4=10,$

откуда получаем уравнение касательной:

 

$\displaystyle 5(x-1)+10(y-1)=0,$ или $\displaystyle x+2y-3=0,$

и нормали:

 

$\displaystyle \frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{10},$ или $\displaystyle 2x-y-1=0.$

 Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

 с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

 - наклонных асимптот не существует.

Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

 (-¥ ; ¼)

1/4

 (¼; ½) 

1/2

( ½ ; 1 )

 1

 (1 ; ¥)

f¢¢(x) 

 +

 +

 +

 0

 -

 0

 +

f¢(x)

 -

 0

 +

 +

 +

 0

 +

f(x)

убывает

вып. вниз

min

возрастает

вып. вниз

перегиб

возрастает

вып. вверх

перегиб

возрастает

вып. вниз

Построим график функции.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .

.

Типовой расчёт № 2

Производная и дифференциал функции двух переменных.

Исследование функции двух переменных.

Образец решения типового расчёта № 5.

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям