Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов I рода Интегрирование простейших тригонометрических функций Предел и непрерывность функции одной переменной<

Курс лекций по высшей математике Матрица Гессе

Двойная сумма в формуле (9.8) содержит в качестве коэффициентов значения всех частных производных второго порядка, вычисленные в точке $ x^0$ . Эти $ n^2$ значений $ h_{ij}=\frac{\textstyle{\pat^2f}}{\textstyle{\pat x_i\pat x_j}}(x^0)$ можно объединить в квадратную матрицу $ H(x^0)=(h_{ij})$ размера $ n\times n$ . Эта матрица $ H(x^0)$ называется матрицей Гессе функции $ f(x)$ в точке $ x^0$ .

Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то

 

$\displaystyle h_{ij}=\frac{\textstyle{\pat^2f}}{\textstyle{\pat x_i\pat x_j}}(x^0)=
\frac{\textstyle{\pat^2f}}{\textstyle{\pat x_j\pat x_i}}(x^0)=h_{ji},$

так что матрица Гессе в этом случае симметрична: $ {}^tH(x^0)=H(x^0)$ (знак $ {}^t$ означает транспонирование матрицы). Локальный экстремум ФНП Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум . Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум

Заметим, что линейную часть правой части формулы (9.8) можно представить в виде

 

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)=
(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0)$

(точка означает скалярное произведение), а квадратичную часть, заданную двойной суммой в формуле (9.8), -- в виде

 

$\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n
\sum_{j=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)(x_i-x^0_i)(x_j-x^0_j)=
\frac{1}{2}\;{}^t(x-x^0)H(x^0)(x-x^0);$

при этом мы считаем вектор $ x-x^0$ записанным в виде матрицы-столбца, а транспонированный вектор $ {}^t(x-x^0)$  -- в виде матрицы-строки. Тем самым, получаем формулу квадратичного приближения в виде

 

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0)+
\frac{1}{2}\;{}^t(x-x^0)H(x^0)(x-x^0),$

где $ H(x^0)$  -- матрица Гессе.

В случае, когда $ x^0$  -- стационарная точка функции $ f(x)$ , градиент обращается в 0 в точке $ x^0$ , так что получаем

 

$\displaystyle {\Delta}f=f(x)-f(x^0)\approx
\frac{1}{2}\;{}^t{\Delta}xH(x^0){\Delta}x,$

где $ {\Delta}x$  -- приращение аргумента $ x$ в точке $ x^0$ . Таким образом, в окрестности стационарной точки приращение функции ведёт себя как квадратичная функция приращения аргумента:

 

$\displaystyle {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)\approx
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n
\sum_{j=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0){\Delta}x_i{\Delta}x_j.$

 Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

Тогда

Окончательно получаем:

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: . Уравнение  задаёт на координатной плоскости   параболу , вершина которой находится в точке , ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. .

Решение.  .

 2.2. .

Решение. .

 2.3. .

Решение. .

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям