Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов I рода Интегрирование простейших тригонометрических функций Предел и непрерывность функции одной переменной<

Примеры и задачи по высшей математике

   Пример 9.3   Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Имеем:

$\displaystyle f(1;1)=1^1=1;$   

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;1)=yx^{y-1}
 \Bigl\vert _{x=1;y=1...
...
 \frac{\partial f}{\partial y}(1;1)=
 x^y\ln x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1\ln1=0;$

   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}(1;1)=
 y(y-1)x^{y-2}\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot0\cdot1^{-1}=0;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x\pat y}(1;1)=
 \Bigl(yx^{y-1}\ln x+x^y\cdot\frac{1}{x}\Bigr)\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot1^0\ln1+
 1^0=1;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat y^2}(1;1)=
 x^y\ln^2x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1(\ln1)^2=0.$   

Поэтому искомое приближение будет иметь вид

$\displaystyle f(x;y)=x^y\approx1+1(x-1)+0(y-1)+$   
$\displaystyle +\frac{1}{2}(0(x-1)^2+2\cdot1(x-1)(y-1)+0(y-1)^2)=
 1+(x-1)+(x-1)(y-1).$   

Подставляя сюда $ x=0{,}98=1+(-0{,}02)$ и $ y=1{,}05=1+0{,}05$ , получаем:

 

$\displaystyle 0{,}98^{1{,}05}\approx1+(-0{,}02)+(-0{,}02)\cdot0{,}05=0{,}979.$

Ответ: $ f(x;y)=x^y\approx1+(x-1)+(x-1)(y-1);$ $ 0{,}98^{1{,}05}\approx0{,}979.$     

С помощью формулы Тейлора можно получать разложение многочленов от переменных $ x_1;\dots;x_n$ по степеням биномов $ (x_1-x_1^0),\ \dots,\ (x_n-x_n^0)$

Лекция 19. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

19.1. Понятие функции нескольких переменных.

 При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

  Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

 Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

  Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: . Уравнение  задаёт на координатной плоскости   параболу , вершина которой находится в точке , ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. .

Решение.  .

 2.2. .

Решение. .

 2.3. .

Решение. .

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям