Испытание материалов на растяжение и сжатие Расчеты на прочность и жесткость Связи и реакции связей Сцепление и трение скольжения Введение в кинематику Общий случай движения твёрдого тела

Сопромат, механика примеры решения задач

Испытание материалов на растяжение и сжатие

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы определить требуемые величины (площадь сечения, предельную силу и др.). К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки.

Для решения практических задач необходимо иметь еще числовые характеристики прочностных свойств материалов. При изучении процессов гибки и штамповки нужны числовые показатели, характеризующие способность материала пластически деформироваться. В ряде случаев надо иметь данные о способности материала противостоять действию высоких температур, работать при переменных нагрузках и т. д.

Упругие и механические характеристики материалов определяют экспериментально путем постановки опытов на растяжение и сжатие образцов, изготовленных из изучаемого материала. Для этой цели в лабораториях пользуются специальными машинами, способными деформировать и разрушать образцы. При этом с помощью точных приборов измеряют деформации образцов. Механические испытания материалов производят не только для изучения механических свойств материалов (прочности, пластичности, способности к упругим деформациям, способности сопротивляться ударным нагрузкам и т. д.), но и для проверки теоретических выводов (например, проверка гипотезы плоских сечений).


Чаще всего применяют цилиндрические образцы (рас. 4.1, а), а при испытании листового материала — плоские (рис. 4.1, б).

Рис. 4.1. Цилиндрические (а) и плоские (б) образцы для испытания на растяжение

Основные виды деформаций Деформации элементов сооружений и машин, вызванные внешними силами, могут быть очень сложными. Однако эти сложные деформации всегда можно представить состоящими из небольшого числа основных видов деформаций.

Обеспечение надежной работы различных узлов, механизмов, корпусных конструкций во время эксплуатации судов – одна из важнейших проблем, которая должна решаться как в процессе расчета и проектирования, так и изготовления судна.

Основные понятия и допущения При выборе расчетной схемы вводятся упрощения в геометрию реального объекта. Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схеме стержня.

Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силы – результат действия одних частей тела на другие. Они существуют и при отсутствии внешних силовых воздействий как результат взаимодействия между частицами тела. Но под действием внешних сил в материале возникают дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию.

Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах кораблестроительных конструкций, деталях машин и агрегатов. Например, растяжение возникает в буксировочном тросе при буксировке баржи, сжатие возникает в шатуне поршневой группы двигателя при рабочем ходе поршня и т.д.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Напряжения, деформации и перемещения

Пример 3.2 Для стального ступенчатого стержня, изображенного на рис. 3.7,а, построить по длине эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений поперечных сечений и изменение длины всего стерня. Из условий прочности определить размеры сечения F2 и проверить прочность сечения F1.

Примеры расчетов при изменяющейся по длине стержня сечения и усилия Построение всех видов эпюр для случая изменяющегося по длине стержня закона продольного усилия, сечения или упругих свойств материала стержня является более сложной задачей и рассматривается в следующих примерах. Рассмотрим вначале случай, когда стержень имеет переменное поперечное сечение и нагружен только сосредоточенными силами.

П р и м е р 3.4 Для стального стержня переменного сечения в виде сужающейся полосы построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Для цилиндрических образцов выдерживают определенное соотношение между расчетной длиной образца l0 и диаметром образца d0.. Обычно l0 = 10 d0 (длинный образец); реже l0 = 5d0 (короткий образец). Учитывая, что диаметр d0 связан с площадью сечения образца F0 формулой

связь между расчетной длиной 10 и площадью поперечного сечения образца F0 можно выразить для длинного (десятикратного) образца зависимостью

, (4.1)

для короткого (пятикратного)

(4.2)

В качестве основных образцов при испытании на растяжение применяют цилиндрические образцы с диаметром d0 =10 мм, расчетной длиной l0 = 100 мм и l0 = 50 мм. Допускается применение и других пропорциональных образцов, в которых выдержаны соотношения размеров в соответствии с формулами (4.1, 4.2).

Образец перед испытанием измеряется штангенциркулем и устанавливается в захваты испытательной машины, где к нему прикладывается осевая статическая нагрузка. Под действием приложенной силы образец удлиняется; с ростом силы растет и удлинение.

Специальное устройство в испытательной машине, так называемый диаграммный аппарат, вычерчивает в определенном масштабе кривую в координатах Р.- , называемую диаграммой растяжения (первичная диаграмма)), вид которой зависит от свойств материала и размеров образца. Для малоуглеродистых сталей (сталь Ст2, Ст3 и др.) диаграмма имеет вид, показанный на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Диаграмма растяжения (первичная диаграмма)

Из рисунка видно, что диаграмма имеет ряд характерных точек (1…5), соответствующих определенному состоянию металла образца.

На начальном участке диаграммы 0 -1 наблюдается линейная зависимость между силой Р и удлинением образца , т.е. деформируется материал упруго и подчиняется закону Гука. При дальнейшем увеличении силы (участок 1-2) закон Гука нарушается, однако материал деформируется упруго, поэтому, если разгрузить образец с точки 2, то перо записи диаграммы возвращается в начало координат.

Участок 2-3 именуется площадкой текучести, т.к. здесь наблюдается пластическое течение материала (необратимое) при постоянной нагрузке. На этом участке металл переходит в новое качественное состояние. На гладкой полированной поверхности образца появляется сетка линий скольжения (так называемые линии Чернова – Людерса) - следствие сдвигов по плоскостям наибольших касательных напряжений. Линии скольжения составляют угол 45° с продольной осью образца;

Дальнейшее деформирование образца от точки 3 до точки 4 требует увеличения силы Р, причем зависимость между Р и становится нелинейной. В точке 4 усилие растяжения достигает своего наибольшего значения – Рmax. Материал на рассматриваемом участке упрочняется за счет явления наклепа.

От точки 0 до точки 4 образец на всей рабочей части равномерно удлиняется с соответствующим равномерным уменьшением сечения (диаметра).

Начиная с точки 4 растяжение образца приведет к образованию местного сужения (именуемое «шейкой»), кривая на диаграмме идет вниз и на точке 5 обрывается (образец разрушается в «шейке»).

Следует отметить, что разгрузка образца с любой точки диаграммы на участке 2-5 приведет к исчезновению только упругой деформации но останутся пластические и перо записи диаграммы уже не возвратится в начало координат, т.е. образец получит остаточное удлинение. Перед разрушением образец получает общее удлинение (точка 7), включающее как пластическую часть (), так и упругую (). После разрушения упругое удлинение исчезает, а пластическое сохраняется. Пунктирная прямая «5-6» параллельна прямой начального участка диаграммы – «0-1». Наибольшее остаточное удлинение, соответствующее моменту разрыва образца (точка 6), будет равно

. (4.3)

Вид разрушенного путем растяжения образца показан на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Вид цилиндрического образца после разрушения (а)

и изменение зоны образца вблизи места разрыва (б)

Пользуясь указанными характерными нагрузками, взятыми из диаграммы растяжения, и зная площадь сечения испытуемого образца F0, определяют основные характеристики прочности материала:

Предел пропорциональности

; (4.4)

Предел упругости

; (4.5)

Предел текучести

; (4.6)

4. Предел прочности или временное сопротивление

; (4.7)

Напряжение в момент разрыва

. (4.8)

Чтобы диаграмма отражала только свойства материала (независимо от размеров образца), ее перестраивают в относительных координатах (напряжение-деформация).

Ординаты произвольной i-той точки такой диаграммы (рис. 4.2) получают делением значений растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца (), а абсциссы – делением удлинения рабочей части образца на первоначальную её длину (). В частности для характерных точек диаграммы ординаты вычисляют по формулам (4.4)…(4.8).

Полученную диаграмму называют условной диаграммой напряжений (рис. 4.4).

Условность диаграммы заключается в способе определения напряжения не по текущей площади поперечного сечения, изменяющейся в процессе испытаний, а по первоначальной - F0. Диаграмма напряжений сохраняет все особенности исходной диаграммы растяжения. Характерные напряжения диаграммы называются предельными и отражают свойства прочности испытуемого материала. (формулы 4.4…4.8). Заметим, что поучаемый в этом случае предел текучести металла соответствует новому физическому состоянию металла и поэтому называется физическим пределом текучести

Рис. 4.4. Диаграмма напряжений (условная диаграмма)

Из диаграммы напряжений (рис. 4.4) видно, что

, (4.9)

т. е. модуль упругости при растяжении Е численно равен тангенсу угла наклона начального прямолинейного участка диаграммы напряжений к оси абсцисс. В этом — геометрический смысл модуля упругости при растяжении.

Если относить усилия, действующие на образец в каждый момент времени нагружения, к истинному значению поперечного сечения в соответствующий момент времени, то мы получим диаграмму истинных напряжений, часто обозначаемых буквой S (рис. 4.5, сплошная линия). Поскольку на участке диаграммы 0-1-2-3-4 диаметр образца уменьшается незначительно (шейка еще не образовалась), то истинная диаграмма, в пределах этого участка, практически совпадает с условной диаграммой (пунктирная кривая), проходя несколько выше.

Построение остального участка истинной диаграммы напряжений (участок 4-5 на рис. 5) вызывает необходимость измерения диаметра образца в процессе испытания на растяжение, что не всегда возможно. Существует приближенный способ построения этого участка диаграммы, основанный на определении координат точки 5 () истинной диаграммы (рис. 5), соответствующей моменту разрыва образца. Сначала определяется истинное напряжение разрыва

, (4.10)

где - усилие на образце в момент его разрыва;

- площадь поперечного сечения в шейке образца в момент разрыва.

Рис. 4.5. Диаграмма истинных напряжений

Вторая координата точки – относительная деформация включает две составляющие - истинную пластическую - и упругую - . Значение может быть определено из условия равенства объемов материала вблизи места разрыва образца до и после испытания (рис. 4.3). Так до испытания объем материала образца единичной длины будет равен , а после разрыва . Здесь - удлинение образца единичной длины вблизи места разрыва. Поскольку истинная деформация здесь , а , то . Упругую составляющую находим по закону Гука: . Тогда абсцисса точки 5 будет равна

. (4.11)

Проводя плавную кривую между точками 4 и 5, получим полный вид истинной диаграммы.

Для материалов, диаграмма растяжения которых на начальном участке не имеет резко выраженной площадки текучести (см. рис. 4.6 ) предел текучести условно определяют как напряжение, при котором остаточная деформация составляет величину, установленную ГОСТом или техническими условиями. По ГОСТу 1497—84 эта величина остаточной деформации составляет 0,2% измеренной длины образца, а условный предел текучести обозначается символом - .

При испытании образцов на растяжение, кроме характеристик прочности, определяют также характеристики пластичности, к которым относятся относительное удлинение образца после разрыва – , определяемое как отношение приращения длины образца после разрыва ( ) к его первоначальной длине (в %):

(4.12)

и относительное сужение – , рассчитываемое по формуле (в %)

. (4.13)

В этих формулах - начальная расчетная длина и площадь поперечного сечения образца, - соответственно длина расчетной части и минимальная площадь поперечного сечения образца после разрыва.

Контрольные вопросы к 4 разделу.

В каких координатах строится диаграмма растяжения?

Что такое предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности (или временное сопротивление)?

Что такое площадка текучести?

Какие деформации называются упругими, и какие остаточными или пластическими?

Что такое условный предел текучести? Для каких материалов определяется эта механическая характеристика?

В каких координатах строится истинная диаграмма напряжений?

Почему на диаграмме растяжения напряжение, при котором происходит разрушение образца, лежит ниже предела прочности?

Чем отличается диаграмма растяжения пластичной, стали от диаграммы растяжения хрупкой стали?

Что такое остаточное относительное удлинение образца и остаточное относительное сужение шейки образца? Какое свойство материала они характеризуют?


Сопротивление материалов примеры решения задач