Испытание материалов на растяжение и сжатие Расчеты на прочность и жесткость Связи и реакции связей Сцепление и трение скольжения Введение в кинематику Общий случай движения твёрдого тела

Сопромат, механика примеры решения задач

Расчеты на прочность и жесткость стержней при кручении

Найденные значения касательных напряжений в произвольном сечении с абсциссой х позволяют оценить прочность стержня, если известно допускаемое напряжения при кручении для его материала. Условие прочности записывают в таком виде:

. (6.11)

Поскольку выражается через диаметр сечения (формулы 6.6, 6.7), то из условия (6.11) можно найти либо требуемый диаметр вала (при заданном ), либо предельную величину крутящего момента (для заданного диаметра).

В некоторых случаях лимитирующим фактором работы стержня (детали) является обеспечение требуемой жесткости. Условие жесткости при кручении имеет вид:

, (6.12)

где - допускаемый относительный угол закручивания.

Кручение стержней круглого сечения Кручение — это такой вид деформации стержня (бруса), при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор — крутящий момент, обозначаемый Мк Деформация кручения возникает при нагружении бруса внешними парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать М

Геометрические характеристики плоских сечений При решении ряда задач, связанных с прочностными и деформационными расчётами деталей и элементов конструкций, возникает необходимость определения основных геометрических характеристик их поперечных сечений (ГХС). К ним относятся площади поперечных сечений, статические моменты и моменты инерции.

П р и м е р 5.2. Для Z – образного сечения определить положение центра тяжести yc, zc , угол наклона главных центральных осей инерции , моменты инерции относительно центральных осей oy и oz и моменты инерции относительно главных центральных осей U и V.

П р и м е р 5.3. Найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции для сечения состоящего из неравнополочного уголка сечением 110708 мм (ГОСТ 8510-86) и прямоугольной полосы сечением 20160 мм

Определить геометрические характеристики поперечного сечения лопасти руля судна, ось которой наклонена под углом 15 градусов к оси движения судна.

Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Общие сведения К сложному сопротивлению относятся те виды деформаций, при которых в поперечных сечениях стержня одновременно возникают не менее двух внутренних усилий.

Плоский поперечный изгиб прямых брусьев

Определение прогибов балки и углов поворотов сечений

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Подбор сечения балки по условию прочности

П р и м е р 8.1. Два шкива одинакового диаметра D = 55 см, насажены на стальной вал и передают мощность N = 6 кВт при частоте вращения n = 500 об/мин. Натяжение ведущего ремня вдвое больше ведомого: Т1=2Т2. Определить диаметр вала d из условий прочности и жесткости.

П р и м е р 6.1.

Построить по длине стального ступенчатого стержня (рис. 6.4) эпюры крутящих моментов и касательных напряжений, определить размер диаметра d1 из условия прочности и жесткости и угол поворота торцевого сечения по отношению к сечению в заделке.

Исходные данные:

М1 = 600 Н·м, М2 = 900 Н·м, d2 = 50 мм, а = 0,3 м, b = 0,5 м, с = 1,2 м.

Допускаемые напряжения для материала стержня на срез [] = 90 МПа, допускаемый угол закручивания [] = 0,8 град/м, модуль упругости стали при сдвиге 8·104 МПа.

Р е ш е н и е.

Используем метод сечений. Разбиваем стержень на 3 участка (I, II, III ). Искомый момент в рассматриваемом сечении находим как сумму внешних моментов (с учетом знака), приложенных справа от рассматриваемого сечения.

Вначале рассмотрим участки стержня I и II , для которых задан диаметр (d2).

Участок I ():

Определяем крутящий момент как сумму внешних моментов, приложенных справа от произвольного сечения рассматриваемого участка.

Н·м.

Найдем величину полярного момента инерции сечения стержня

.


Угол поворота сечения относительно заделки на участке I с координатой x будет:

Участок II ():

Н·м.

Для третьего участка вначале определяем крутящий момент и строим эпюру (рис. 6.5).

Участок III ():

Н·м.

Рис. 6.5. Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений

и углов поворота поперечных сечений

Определим требуемый диметр вала d1 по двум условиям:

1. По условию прочности:

Используя условие прочности при кручении стержня круглого поперечного сечения (6.11) и выражение полярного момента сопротивления через диаметр вала (6.6), можно записать

,

откуда требуемый диаметр стержня будет

.

2. По условию жесткости:

Поскольку вычисляемый погонный угол закручивания по формуле (6.12) получается в радианах, а допускаемый угол закрутки в условии задачи выражен в градусах, то определим допускаемую величину угла [] для единичной длины (1 мм), в радианах:

.

Используя условие жесткости при кручении круглого вала единичной длины (6.12) и учитывая, что , запишем:

.

Тогда, требуемый диаметр по условию жесткости будет

Из двух значений диаметра d1 принимаем больший, округляя его до целой величины : d1 = 48 мм.

Полярный момент инерции поперечного сечения стержня на третьем участке будет

Угол поворота сечения с координатой x относительно заделки будет:

На рис. 6.5 изображена эпюра углов поворота поперечных сечений стержня из которой видно, что угол поворота торцевого сечения (x = c) по отношению к сечению в заделке составляет

Поскольку теперь известны скручивающие моменты и диаметры стержня на всех участках, то определяем касательные напряжения на каждом из участков и строим эпюру касательных напряжений условно принимая знаки для касательных напряжений такими же, как и знаки крутящих моментов.

Участок I ():

МПа.

Участок II ():

МПа.

Участок III ():

МПа.

На рис. 6.5 изображена эпюра касательных напряжений по длине стержня.

Контрольные вопросы к 6 разделу

При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?

Как вычисляется момент, передаваемый шестерней, по заданной мощности и числу оборотов в минуту?

Какое правило знаков принято для крутящих моментов?

Что такое эпюры крутящих моментов и как они строятся?

Что называется полным и что называется, относительны углом закручивания бруса?

Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены?

Выведите формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого бруса.

Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он измеряется и чему равен (для круга и кольца)?

Чем объясняется, что брус кольцевого сечения при кручении экономичнее, чем сплошного?

Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность?

Как выбираются допускаемые напряжения при расчете на кручение?

Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость?

Как вычисляются напряжения в цилиндрической винтовой пружине? На каких допущениях основана формула для вычисления напряжений?

Как определяются деформации цилиндрической винтовой пружины? Выведите соответствующую формулу.

В каких случаях задача расчета прямого стержня на кручение является статически неопределимой.


Сопротивление материалов примеры решения задач