Испытание материалов на растяжение и сжатие Расчеты на прочность и жесткость Связи и реакции связей Сцепление и трение скольжения Введение в кинематику Общий случай движения твёрдого тела

Сопромат, механика примеры решения задач

Скорость точки

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории её движения.

Подпись:  

Рис. 2.6
Пусть заданы уравнения движения точки в пространстве: X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) (рис. 2.6).

Разложим вектор V скорости точки на составляющие по координатным осям: V = VOX + VOY + VOZ. Векторы VOX, VOY, VOZ называют компонентами скорости по координатным осям. Вектор V скорости можно выразить векторным равенством:

V = i· + j· + k·,

где , ,  – проекции скорости V на соответствующие координатные оси.

ПРИМЕР Определить реакции в опорах вала ведущего барабана привода ленточного конвейера

В инженерных расчётах рекомендуется использовать следующие обозначения проекций скорости V на координатные оси: ; ; .

Сравнивая последние формулы, запишем равенство

V = VOX + VOY + VOZ = i· + j· + k·.

Из этого равенства имеем:

VOX = i·; VOY = j·; VOZ = k·.

Проекции скорости на координатные оси системы отсчёта равны первым производным по времени от соответствующих уравнений движения:

  = dX/dt;  = dY/dt;  = dZ/dt,

где точка (·) означает символ однократного дифференцирования функции по времени.

Естественный способ задания движения точки применяется в случае, когда траектория движения точки заранее известна. Траекторией могут быть как прямая, так и кривая линии

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве, вне связи с силами, определяющими это движение.

Скорость точки

Определение ускорения точки

Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек при плоскопараллельном движении тела основан на понятии мгновенного центра скоростей.

Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая линия, проведенная на теле, остается во всё время движения тела параллельной своему начальному положению

Вращательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором все точки, находящиеся на прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Пример выполнения курсового задания К 2 Дано: схема плоского механизма уравнение движения груза 1: Х = 2·t2 + 2, см; радиусы колес: R2 = 50 см; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см. Определить кинематические характеристики точки М тела 3 в момент времени t1 = 1 c (VM(t1) = ?; (t1) = ?; (t1) = ? (t1) = ?).

Плоскопараллельным (плоским) движением твёрдого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Плоскопараллельные движения совершают многие тела механизмов и машин, например, катящееся колесо, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др.

Зная проекции скорости на координатные оси, находят модуль скорости по формуле

.

Ориентацию вектора скорости V в системе отсчёта OXYZ определяют по направляющим косинусам:

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V; cos(V, k) = / V.

Подпись:  
Рис. 2.7
Движение точки в плоскости OXY (рис. 2.7) задаётся двумя уравнениями движения: X = f1(t); Y = f2(t).

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются по формулам:

;

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V.

Подпись:  
Рис. 2.8

Прямолинейное движение точки (рис. 2.8) задаётся одним уравнением X = f(t).

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на координатную ось ОХ.

V = || = |dX/dt|.

При  > 0 точка движется в сторону увеличения координаты Х, при  < 0 – противоположно направлению оси.

2.4. Ускорение точки

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения величины и направления скорости.

Ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения.

Рассматривается движение точки на плоскости в системе отсчёта OXY (рис. 2.9) по заданным уравнениям движения X = f1(t); Y = f2(t).

Согласно рис. 2.9 запишем векторное равенство

а = аОХ + aOY = i· + j·,

где а – ускорение точки; аОХ, aOY компоненты ускорения по координатным осям; ,  – проекции ускорения на координатные оси.

Здесь две точки (··) означает символ двойного дифференцирования функции по времени.

Подпись:  

Рис. 2.9

Распространяя полученный результат на пространство (система отсчёта OXYZ), получим

а = аОХ + aOY + aOZ = i· + j· + j·.

Как правило, проекции ускорения а на координатные оси в технической литературе обозначаются так: , , .

Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих уравнений движения или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

  = d2X/dt2 = ;

  = d2Y/dt2 = ;

  = d2Z/dt2 = .

Модуль ускорения находится по следующим формулам:

a =   (точка движется в пространстве);

a =   (точка движется в плоскости);

a = || (точка движется по прямой линии).

Направляющие косинусы находятся по следующим формулам:

cos(a, i) =/ a; cos(a, j) = / a; cos(a, k) = / a.

Зная направляющие косинусы, вектор ускорения а ориентируют в пространстве.

Рассматривается движение точки по прямой линии согласно заданному уравнению движения X = f(t) (рис. 2.10).

Подпись:  
Рис. 2.10

При таком движении справедливо равенство а = аОХ = i·. На рис. 2.10 дополнительно показано ускорение а0 – начальное ускорение точки при t0 = 0.

Примечания:

1. Если проекции ускорения на координатные оси положительны ( > 0, > 0,  > 0), то компоненты ускорения по координатным осям (аОХ, aOY, aOZ) направлены в те же стороны, что и единичные векторы (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

2. Если проекции ускорения на координатные оси отрицательны ( < 0,  < 0,  < 0), то компоненты ускорения по координатным осям (аОХ, aOY, aOZ) направлены в стороны, противоположные ортам (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.

Рассмотрим более подробно движение точки на координатной оси ОХ (рис. 2.10) по заданному уравнению движения X = f(t).

Если проекция  скорости V и проекция  ускорения а точки совпадают по знаку, то точка движется ускоренно. При  > 0 и   >0 точка движется в сторону увеличения координаты Х ускоренно. Если  < 0 и  < 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х ускоренно. Если  > 0 и  < 0, то точка движется в сторону увеличения координаты замедленно. Если  < 0 и  > 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х замедленно.

Если проекция  ускорения на ось ОХ постоянна ( = const), то такое движение называют равнопеременным. При условии, что  = const ≠ 0, уравнение равнопеременного движения точки записывают в виде

X = X0 + 0·t + (·t2)/2,

где X0 – значение координаты точки в начальный момент времени; 0 - проекция начальной скорости V0 на координатную ось ОХ в начальный момент времени.

Если   = const > 0, то такое движение называют равноускоренным.

Если   = const < 0, то движение точки называют равнозамедленным.

Если   = 0, то такое движение называют равномерным. Уравнение равномерного движения имеет вид X = X0 + ·t.

При условии, что  = f(t) ≠ const, для получения уравнения движения выражение  = f(t) необходимо дважды проинтегрировать.

Пусть, например,  = 2·t. Представим это выражение в виде d/dt = 2·t. Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении d = 2·t·dt. Первый интеграл от этого выражения имеет вид   = 2·(t2/2) + C1 = t2 + C1, где С1 – постоянная интегрирования, которую находят по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 проекция начальной скорости V0 на ось ОХ не равна нулю: 0 ≠ 0. Тогда при t0 имеем 0 = (t0)2 + C1. Откуда С1 = 0. Внося значение постоянной С1 в выражение, полученное при первом интегрировании, имеем  = t2 + 0. Так как  = dX/dt, то после разделения переменных имеем следующее дифференциальное уравнение движения dX = t2·dt + 0·dt. Интегрируя это уравнение, получим X = t3/3 + 0·t + C2, где С2 – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 координата Х0 ≠ 0. Тогда X0 = (t0)3/3 + 0·t0 + C2 или С2 = Х0. Окончательно имеем уравнение прямолинейного движения

X = (t)3/3 + 0·t + Xo.

Таким образом, если заданы уравнения движения точки в координатной форме, то можно в любой момент времени определить следующие кинематические характеристики:

траекторию движения;

положение точки на траектории движения;

проекции скорости на координатные оси, а, следовательно, и модуль скорости;

ориентацию вектора скорости в системе отсчёта по её направляющим косинусам;

проекции ускорения на координатные оси и модуль ускорения;

положение вектора ускорения в системе отсчёта по его направляющим косинусам.


Сопротивление материалов примеры решения задач