Испытание материалов на растяжение и сжатие Расчеты на прочность и жесткость Связи и реакции связей Сцепление и трение скольжения Введение в кинематику Общий случай движения твёрдого тела

Сопромат, механика примеры решения задач

Общий случай движения твёрдого тела

Подпись:  
Рис. 2.59

Рассмотрим движение свободного твёрдого тела в неподвижной системе отсчёта OXYZ (рис. 2.59).

В общем случае движение свободного тела в пространстве можно рассматривать как сумму простейших движений (три поступательных движения, параллельные координатным осям, и три вращательных движения относительно этих осей), которые осуществляются одновременно и независимо друг от друга.

Сферическое движение твёрдого тела Рассмотрим движение тела, одна из точек которого во всё время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение называют сферическим движением твёрдого тела.

Пример выполнения курсового задания К 3 Дано: схема плоского механизма модуль угловой скорости ведущего звена 1; ω1 = ωАО1 = 1 рад/с; геометрические параметры: АВ = О2В = 1 м; АС = СВ = 0,5 м. Определить модули скоростей точек А, В, С и модули ω2, ω3 угловых скоростей звеньев АВ и ВО2 механизма.

Сложное движение точки В ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно в двух системах отсчёта, из которых одна остается условно неподвижной, а другая определённым образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе, с которой связана подвижная система отсчёта OXYZ, и движения вместе с палубой по отношению к берегу, с которым связана неподвижная система отсчёта O1X1Y1Z1. Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложения сложного движения точки на более простые путём введения дополнительной (подвижной) системы отсчёта широко используется в кинематических и динамических расчётах.

Сложение скоростей Рассматривается сложное движение точки на плоскости

Пример. Пусть векторы   и Vr лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и единичные векторы i, j правой системы отсчёта

Пример 1. Подвижный конус катится по неподвижной горизонтальной плоскости O1X1Y1, имея неподвижную точку О1

Таким образом, свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы.

Подпись:  
Рис. 2.60
В теоретической механике движение свободного тела в пространстве рассматривают как сложное, состоящее из поступательного движения со скоростью некоторой точки тела, принятой за полюс, и сферического движения вокруг этого полюса (рис. 2.60).

Примем произвольную точку О за полюс и поместим в него начала двух подвижных систем отсчёта OXYZ, O2X2Y2Z2. При этом система отсчёта OXYZ неподвижно закреплена на теле, а система отсчёта O2X2Y2Z2 совершает поступательное движение таким образом, что её координатные оси параллельны координатным осям неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1.

Плоскости OXY, O2X2Y2 подвижных систем отсчёта пересекаются по линии OL. Введением единичного вектора р эту линию преобразуют в ось узлов.

На рис. 2.60 показаны углы Ψ, φ, θ, величины которых зависят от времени. Эти углы называют эйлеровыми углами.

Таким образом, свободное движение тела определяется шестью уравнениями движения свободного твёрдого тела.

X1О = f1(t); Y1О = f2(t); Z1О = f3(t);

Ψ = f4(t); φ = f5(t); θ = f6(t),

где X1О, Y1О, Z1О – координаты полюса О в неподвижной системе отсчёта O1X1Y1Z1.

Первые три уравнения, определяющие поступательную часть движения тела, зависят от выбора полюса О, так как координаты различных точек тела различны.

Остальные три уравнения, определяющее сферическое движение тела вокруг полюса, от выбора полюса не зависят.

Подпись:  

Рис. 2.61

В технических расчётах движение свободного тела рассматривают также как вращательное движение относительно мгновенной оси вращения, проходящей через подвижный полюс (рис. 2.61).

Скорость VM любой точки М свободного тела равна геометрической сумме скорости VO полюса О и скорости VMO этой точки в её сферическом движении вокруг полюса.

VM = VO + VMO.

Скорость VMO определяют по формуле

VMO = Ω × rM,

где Ω – вектор мгновенной угловой скорости; rM – радиус-вектор, начало которого находится в полюсе, а конец в точке М.

Для студентов заочной и дистанционной форм обучения выполнение курсовых заданий на свободное движение тела не предусмотрено.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение термина «сложное движение точки или тела».

2. Сформулировать определение термина «абсолютное движение точки».

3. Сформулировать определение термина «относительное движение точки».

4. Сформулировать определение термина «переносное движение точки».

5. Сформулировать определение термина «абсолютная траектория точки».

6. Сформулировать определение термина «относительная траектория точки».

7. Сформулировать определение термина «абсолютная скорость точки».

8. Сформулировать определение термина «относительная скорость точки».

9. Сформулировать определение термина «переносная скорость точки».

10. Сформулировать определение термина «абсолютное ускорение точки».

11. Сформулировать определение термина «относительное ускорение точки».

12. Сформулировать определение термина «переносное ускорение точки».

13. Сформулировать определение термина «кориолисово ускорение точки».

СЛОВАРЬ

ТЕРМИНОВ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОНЯТИЙ

(по разделу «Кинематика»)

Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движения материальных тел без учёта их масс и действующих на них сил.

Примечание. В кинематике движущиеся объекты рассматриваются как геометрические точки или тела и именуются соответственно точка или тело.

Основная система отсчёта – при рассмотрении движения тел по отношению к нескольким системам отсчёта – та из этих систем, относительно которой определяется движение всех остальных.

Примечание. В данном методическом пособии основная система отсчёта обозначена как неподвижная система отсчёта (НСО).

Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела.

Примечания: 1. В пределах механики механическое движение можно кратко называть движение. 2. Понятие «механическое движение» может относиться и к геометрическим объектам.

Подвижная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся по отношению к основной системе отсчёта.

Примечание. Для обозначения подвижной системы отсчёта в данном методическом пособии используется аббревиатура (ПСО).

Траектория точки – геометрическое место положений точки в рассматриваемой системе отсчёта.

Путь точки – расстояние, пройденное точкой за рассматриваемый промежуток времени, измеряемое вдоль траектории и направления движения точки.

Скорость точки – кинематическая мера движения точки, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчёта.

Примечание. Под радиус-вектором точки понимается вектор, проведенный от некоторой точки, неизменно связанной с рассматриваемой системой отсчёта, до движущейся точки.

Ускорение точки – мера изменения скорости точки, равная производной по времени от скорости этой точки в рассматриваемой системе отсчёта.

Естественные оси – прямоугольная система осей с началом в движущейся точке, направленных соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к траектории этой точки.

Касательное ускорение точки – составляющая ускорения точки вдоль касательной к траектории при разложении ускорения по естественным осям.

Нормальное ускорение точки – составляющая ускорения точки вдоль главной нормали к траектории при разложении ускорения по естественным осям.

Сложное движение точки или тела – движение точки или тела, исследуемое одновременно в основной и подвижной (подвижных) системах отсчёта.

Примечание. При этом могут определяться характеристики движения точки или тела по отношению к каждой из систем отсчёта и зависимости между этими характеристиками.

Абсолютное движение точки – движение точки или тела по отношению к основной системе отсчёта.

Относительное движение точки – движение точки или тела по отношению к подвижной системе отсчёта.

Переносное движение – движение подвижной системы отсчёта по отношению к основной системе отсчёта.

Абсолютная траектория точки – траектория точки по отношению к основной системе отсчёта.

Относительная траектория точки – траектория точки по отношению к подвижной системе отсчёта.

Абсолютная скорость точки – скорость точки в абсолютном движении.

Относительная скорость точки – скорость точки в относительном движении.

Переносная скорость точки – при сложном движении точки – скорость той, неизменно связанной с подвижной системой отсчёта точки пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Абсолютное ускорение точки – ускорение точки в абсолютном движении.

Относительное ускорение точки – ускорение точки в относительном движении.

Переносное ускорение точки – при сложном движении точки – ускорение той, неизменно связанной с подвижной системой отсчёта точки пространства, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

Кориолисово ускорение точки – при сложном движении точки – составляющая её абсолютного ускорения, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.

Поступательное движение твёрдого тела – движение тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению.

Примечание. В технической литературе используют краткую форму термина – «поступательное движение».

Вращательное движение твёрдого тела – движение тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчёта.

Примечания: 1. Эта прямая называется осью вращения. 2. Перемещение вращающегося тела из одного положения в другое называется поворотом.

Угол поворота твёрдого тела – угол между двумя последовательными положениями полуплоскости, неизменно связанной с телом и проходящей через его ось вращения.

Примечание. Можно использовать краткую форму этого термина – угол поворота.

Плоскопараллельное движение твёрдого тела – движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой плоскости, неподвижной в рассматриваемой системе отсчёта.

Примечание. В технической литературе зачастую используется краткая форма этого термина – плоское движение твёрдого тела.

Мгновенный центр скоростей – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Мгновенный центр вращения – точка неподвижной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к данному.

Примечание. В каждый момент времени мгновенный центр вращения совпадает с мгновенным центром скоростей.

Угловая скорость – кинематическая мера вращательного движения тела, выражаемая вектором, равным по модулю отношению элементарного угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается этот поворот, и направленный вдоль мгновенной оси вращения в ту сторону, откуда элементарный поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки.

Примечание. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, модуль угловой скорости равен модулю производной от угла поворота по времени.

Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости тела, равная производной от угловой скорости по времени.


Сопротивление материалов примеры решения задач