Испытание материалов на растяжение и сжатие Расчеты на прочность и жесткость Связи и реакции связей Сцепление и трение скольжения Введение в кинематику Общий случай движения твёрдого тела

Сопромат, механика примеры решения задач

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо)

Теорема. Силу F, не изменяя её действие на тело, можно перенести из точки её приложения А в любой центр приведения О, присоединив при этом к телу пару сил с моментом М, геометрически равным моменту MО(F) этой силы относительно центра приведения.

Подпись:  
Рис. 1.41
Пусть задана сила F, лежащая в горизонтальной плоскости OXY параллельно оси ОХ (рис. 1.41).

Согласно методу Пуансо вместо силы F, приложенной в точке А, получена сила F1, равная по величине силе F, но приложенная в точке О и присоединённая пара сил, векторный момент которой M = MО(F).

По теореме об эквивалентности пар сил присоединённую пару сил можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.

Приведение произвольной системы сил

к заданному центру

Теорема. Любую произвольную систему сил, действующую на тело, можно привести в общем случае к силе и паре сил.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

Подпись:  
Рис. 1.42
Пусть задана произвольная система сил (F1, …, Fn) (рис. 1.42).

Последовательно применяя метод Пуансо к каждой из заданной системы сил, приведём её к произвольному центру О. В результате этого получим систему сил (F1, …, Fn), приложенных в центре О, и присоединённую пару сил с моментом M = Σ MО(Fi). Складывая силы F1, …, Fn по правилу параллелограмма, получим их равнодействующую R*, равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения.

Геометрическую сумму всех сил системы называют главным вектором системы сил и, в отличие от равнодействующей R, обозначают R*.

Вектор M = Σ MО(Fi) называют главным моментом системы сил относительно центра приведения.

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R*, но влияет на модуль и направление главного момента М. Главный вектор R* является свободным вектором и может быть приложен в любой точке тела.

Аналитические условия равновесия

плоской произвольной системы сил

Плоская произвольная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости.

Линии действия плоской произвольной системы сил пересекаются в различных точках.

Подпись:  

Рис. 1.43
На рис. 1.43 изображена заданная плоская произвольная система сил (F1, …, Fn), линии действия которых лежат в плоскости OYZ.

Последовательно применяя метод Пуансо для каждой из сил Fi, осуществим параллельный перенос сил из точек Ai в начало О системы отсчёта OXYZ. Согласно этому методу, сила Fi будет эквивалентна силе Fi, приложенной в точке О, и присоединённой паре сил с моментом Mi = MО(Fi). При этом Mi = ± Fi×hi, где hi – плечо силы Fi относительно центра приведения О. По окончании этой работы получим сходящуюся систему сил (Fi,…, Fn) и сходящуюся систему векторных моментов Mi = MО(Fi) присоединённых пар сил, приложенных в центре приведения. Сложив векторы сил, получим глав

ный вектор R* = ΣFi и главный момент эквивалентной пары сил M = Σ MО(Fi).

Таким образом, плоская произвольная система сил (Fi,…, Fn) эквивалентна одной силе R* = Σ Fi и паре сил с моментом M = Σ MО(Fi).

При решении задач статики используют проекции силы на координатные оси и алгебраические моменты сил относительно точки.

На рис. 1.44 изображена плоская произвольная система сил, приведённая к главному вектору сил, модуль которой R*=  и эквивалентной паре сил с алгебраическим моментом M = Σ MО(Fi).

Подпись:  

Рис. 1.44

В этих формулах Σ FiОX, Σ FiОY – суммы проекций сил на координатные оси; Σ MО(Fi) – сумма алгебраических моментов сил относительно точки О.

Геометрическое условие равновесия любой системы сил выражается векторными равенствами: R* = Σ Fi = 0; M = Σ MО(Fi) = 0.

При решении задач требуется определить реакции RiE внешних связей, наложенных на механическую систему. При этом активные силы FiE, приложенные к этой системе, известны. Так как активные силы FiE и реакции связей RiE относятся к разряду внешних сил, то геометрическое условие равновесия системы внешних сил целесообразно выразить векторными равенствами:

Σ FiE + Σ RiE = 0;

Σ MA(FiE) + Σ MA(RiE) = 0.

Для равновесия системы внешних сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма активных сил FiE и реакций RiE внешних связей и геометрическая сумма моментов активных сил MA(FiE) и реакций внешних связей MA(RiE) относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Проецируя эти векторные равенства на координатные оси системы отсчёта, получим аналитические условия равновесия системы внешних сил. Для плоской произвольной системы сил эти уравнения приобретают следующий вид:

Σ + Σ = 0;

Σ + Σ = 0;

Σ MA(FiE) + Σ MA(RiE) = 0,

где Σ, Σ – соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ, Σ – суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ MA(FiE) – сумма алгебраических моментов активных сил FiE относительно точки А; Σ MA(RiE) – сумма алгебраических моментов реакций RiE внешних связей относительно точки А.

Совокупность этих формул есть первая (основная) форма уравнений равновесия плоской произвольной системы внешних сил.

Таким образом, для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к механической системе, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на две координатные оси и сумма алгебраических моментов активных сил и реакций внешних связей относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Существуют и другие формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Вторая форма выражается совокупностью формул:

Σ + Σ = 0;

Σ MA(FiE) + Σ MA(RiE) = 0;

Σ MВ(FiE) + Σ MВ(RiE) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на координатную ось и суммы алгебраических моментов сил относительно произвольных точек А и В равнялись нулю.

Третья форма уравнений равновесия выражается совокупностью формул:

Σ MA(FiE) + Σ MA(RiE) = 0;

Σ MВ(FiE) + Σ MВ(RiE) = 0;

Σ MС(FiE) + Σ MС(RiE) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов этих сил относительно произвольных точек А, В и С равнялись нулю.

При использовании третьей формы уравнений равновесия точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.


Сопротивление материалов примеры решения задач