Математический анализ лекции и задачи

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716)

Множества. Операции над множествами В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA.

Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.

Логические символы В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности.

Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике – с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью её приближённые значения

Числовые множестваю Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Часто бывает удобно дополнить эти множества элементами, обозначаемыми через +¥ и –¥ и называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями

Промежутки действительных чисел

Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, и т. д.

Примеры. Множества точек на любых двух отрезках [a, b] и [c, d] эквивалентны между собой.

Теорема Кантора Можно доказать, что из всех бесконечных множеств счётные множества имеют наименьшую мощность, если только существуют бесконечные множества, неэквивалентные счётному. Такие множества называются несчётными, их существование следует из теоремы Кантора.

Верхняя и нижняя грани множества Ограниченные и неограниченные множества Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

Рассмотрим произвольное множество XÌ¡.

Последовательность. Предел последовательности Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Теорема о единственности предела последовательности

Задание 2.

2.

Решение

Убедившись, что данное уравнение линейное, приведём его к виду: . Разделив левую и правую части данного уравнения на коэффициент при , равный sinx, получим ,

сравнивая с уравнением (*) имеем

I способ решения:

Применим формулу общего решения для таких уравнений:

подставим в эту формулу P(x) и Q(x) данного уравнения, получим .

Вычисляем сначала интегралы, стоящие в степени.

,

полагаем

тогда общее решение данного уравнения ,

далее при преобразовании общего решения используем формулу , при  (основное логарифмическое тождество), а также свойство логарифмов: .

тогда

.

Значит, общее решение данного уравнения имеет вид:  (**).

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого подставим в общее решение .

Тогда получим уравнение , но .

Значит, .

Найденное значение С подставим в общее решение, тогда получим искомое частное решение:

.

Ответ:  .

 

 

 

II способ решения (метод подстановки: метод Бернулли):

Для отыскания общего решения данного дифференциального уравнения полагаем: , найдем , тогда данное уравнение

  преобразуется к виду .

Одну из вспомогательных функций  или  можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения  (1),

тогда для отыскания функции u(x) получим уравнение  (2).

Решаем уравнение (1): , найдем v(x), разделяя переменные ,

найдем простейшее частное решения, отличное от нуля, для этого уравнение проинтегрируем:

, С=0, .

Теперь при найденной v(x), решаем уравнение (2):

, но , значит

.

Зная u(x) и v(x) найдем искомое общее решение:

.

А затем поступая аналогично найдем значение C, используя начальное условие , тогда искомое частное решение:

.

Как видим, результат решения получен один и тот же, что и при I способе.

Ответ:  .

Замечание: Можно решить данное линейное дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

 

 

 

 

Задание 3.

3.

Решение:

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (уравнения без правой части)   и частного решения исходного неоднородного уравнения , т.е. результат решения данного дифференциального уравнения

1) В начале находим общее решение уравнения .

Составляем его характеристическое уравнение: , решаем это квадратное уравнение:

.

т.е. характеристическое уравнение имеет 2 различных вещественных корня.

Согласно формуле  находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Найдем теперь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения: yч.p.н.

Эта функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов (методом подбора) в том случае, когда его правая часть ,

тогда частное решение находят по формуле:

, где

r – кратность корней  (для дифференциальных уравнений второго порядка r = 0,1,2), N = max (n, m).

В данном дифференциальном уравнении правая часть , .

Т.к. ,

,

Степень многочлена  .

Корни   не кратны корням характеристического уравнения, значит .

Следовательно, , т.е. вид частного решения устанавливается по виду правой части данного уравнения.

Теперь надо найти коэффициенты A, B, C.

Для этого дифференцируем 2 раза  и подставляем в дифференциальное уравнение требуемые функции y, , .

, получаем равенство:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему уравнений:

,

 .

Подставим найденные коэффициенты в функцию: .

3) Искомое общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

Замечание: В общем случае для решения линейных неоднородных уравнений   применяется метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Этот метод достаточно сложен: связан с решением системы уравнений и вычислением интегралов. Поэтому в случаях, когда правая часть уравнения  имеет указанный вид, лучше задачу решать методом неопределенных коэффициентов.