Математический анализ лекции и задачи

Машиностроительное черчение
Черчение в строительной практике
Оформление чертежа
Эффективность виброзащиты
Построить проекции поверхности
вращения общего вида
Построить проекции прямого геликоида
Построить чертеж кондуктора
Построить чертеж крышки
Построить чертеж траверсы
Построить чертеж подвески
Общие сведения по резьбам
Выполнение сборочного чертежа
Сведения о материале деталей
Нанесение размеров на
сборочном чертеже
Плоская система сходящихся сил
Сопромат, термех
Пространственная система сил
Основные понятия и аксиомы статики
Основные понятия и аксиомы динамики
Элементы кинематики
Основные понятия сопративления материалов
Механические испытания материалов
Расчет бруса круглого поперечного
Плоскопаралельное движение твердого тела
Сопротивление усталости
Инженерная графика
Машиностроение
Графические обозначения материалов
в сечениях
Винтовые поверхности и изделия с резьбой
Винтовая линия
Винтовая лента
Построение проекции винтовой поверхности
Условные изобращения резьбы на чертежах
Многозаходные винты и резьбы
Виды резьб и их обозначения
Метрическая резьба
Трубная цилиндрическая резьба
Трубная коническая резьба
Упорная резьба
Сбег резьбы, фаски, проточки
Болты
Гайки
Винт
Шурупы
Шпилька
Пружинные шайбы
Соединения деталей болтом
Соединение деталей винтами
Упрощенные и условные изображения
резьбовых соединений
Резьбовые соединения труб
Соединения деталей - разъемные
и неразъемные
Резьбовые соединения
Соединение с применением штифтов
Чертежи деталей
Графическая часть чертежа
Нанесение размеров на чертежах деталей
Конструкторские и технологические базы
3 способа несения размеров элементов
деталей
Линейные и узловые размеры
При эскизировании и составлении рабочих
чертежей деталей
Основные сведения о допусках и посадках
Шероховатость поверхностей
и обозначение покрытий
Единая система допусков и посадок
Допуски формы и расположение поверхностей
Текстовые надписи на чертежах
Обозначение материалов на чертежах деталей
Выполнение эскизов деталей
Нанесение изображений элементов детали
Выполнение рабочих чертежей деталей
Выбор главного вида и числа изображений
Чертежи детали, изготовленной литьем
Чертеж детали, изготовленный из пластмассы
Чертежи пружин
Нутромер
Штангенциркуль
Математика
Функции
Вычисление пределов
Непрерывность функций
Производные
Дифференциалы
Математический анализ
Анализ функций
Корни уравнений
Алгебра
Линии и плоскости
Поверхности
Операции с матрицами
Комплексные числа
Матрицы
Дифференцироание функций
Линейные уравнения
Электротехника
Adobe Acrobat
Adobe FrameMaker
Adobe After Effects
Типы локальных сетей
Adobe Illustrator

Ядерные реакторы

Первый ядерный уран-графитовый реактор
Основные технические характеристики РБМК
Водо-водяной реатор, ВВЭР
Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500
Реакторы на быстрых нейтронах
Промышленные реакторы
Исследовательские ядерные реакторы
Реактор БОР-60
Многопетлевой кипящий энергетический
реактор МКЭР-800
Реактор БРЕСТ
Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
Тепловой реактор с внутренней
безопасностью
Энергетическая установка ГТ-МГР
Корпусной реактор ПРБЭР-600
ВВЭР-640 (В-407)
АРГУС

Физика

Электрическое поле
Решение задач по физике примеры
Строение и общие свойства атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Деление и синтез ядер
Квантовая механика
Спин, момент импульса
Атом водорода Принцип Паули

Информатика

Принципы функционирования глобальных
и локальных сетей
Информационно-вычислительные сети
Электротехника
Расчёт электрического поля
Расчёт магнитной цепи
Законы Кирхгофа
Расчёт электрических цепей
Расчёт трёхфазных цепей
Промышленная электроника
Трехфазные электрические цепи
Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике
Методика расчёта линейных электрических цепей
Электротехника лекции
Элементы электрических цепей
Топология электрических цепей.
Переменный ток
Векторные диаграммы
Методы контурных токов и узловых потенциалов.
Основы матричных методов расчета электрических цепей
Мощность в электрических цепях
Резонансные явления
Векторные и топографические диаграммы
Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
Особенности составления матричных уравнений
Метод эквивалентного генератора

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716)

Множества. Операции над множествами В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA.

Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.

Логические символы В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности.

Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике – с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью её приближённые значения

Числовые множестваю Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Часто бывает удобно дополнить эти множества элементами, обозначаемыми через +¥ и –¥ и называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями

Промежутки действительных чисел

Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, и т. д.

Примеры. Множества точек на любых двух отрезках [a, b] и [c, d] эквивалентны между собой.

Теорема Кантора Можно доказать, что из всех бесконечных множеств счётные множества имеют наименьшую мощность, если только существуют бесконечные множества, неэквивалентные счётному. Такие множества называются несчётными, их существование следует из теоремы Кантора.

Верхняя и нижняя грани множества Ограниченные и неограниченные множества Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

Рассмотрим произвольное множество XÌ¡.

Последовательность. Предел последовательности Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Теорема о единственности предела последовательности

Задание 2.

2.

Решение

Убедившись, что данное уравнение линейное, приведём его к виду: . Разделив левую и правую части данного уравнения на коэффициент при , равный sinx, получим ,

сравнивая с уравнением (*) имеем

I способ решения:

Применим формулу общего решения для таких уравнений:

подставим в эту формулу P(x) и Q(x) данного уравнения, получим .

Вычисляем сначала интегралы, стоящие в степени.

,

полагаем

тогда общее решение данного уравнения ,

далее при преобразовании общего решения используем формулу , при  (основное логарифмическое тождество), а также свойство логарифмов: .

тогда

.

Значит, общее решение данного уравнения имеет вид:  (**).

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого подставим в общее решение .

Тогда получим уравнение , но .

Значит, .

Найденное значение С подставим в общее решение, тогда получим искомое частное решение:

.

Ответ:  .

 

 

 

II способ решения (метод подстановки: метод Бернулли):

Для отыскания общего решения данного дифференциального уравнения полагаем: , найдем , тогда данное уравнение

  преобразуется к виду .

Одну из вспомогательных функций  или  можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения  (1),

тогда для отыскания функции u(x) получим уравнение  (2).

Решаем уравнение (1): , найдем v(x), разделяя переменные ,

найдем простейшее частное решения, отличное от нуля, для этого уравнение проинтегрируем:

, С=0, .

Теперь при найденной v(x), решаем уравнение (2):

, но , значит

.

Зная u(x) и v(x) найдем искомое общее решение:

.

А затем поступая аналогично найдем значение C, используя начальное условие , тогда искомое частное решение:

.

Как видим, результат решения получен один и тот же, что и при I способе.

Ответ:  .

Замечание: Можно решить данное линейное дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

 

 

 

 

Задание 3.

3.

Решение:

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (уравнения без правой части)   и частного решения исходного неоднородного уравнения , т.е. результат решения данного дифференциального уравнения

1) В начале находим общее решение уравнения .

Составляем его характеристическое уравнение: , решаем это квадратное уравнение:

.

т.е. характеристическое уравнение имеет 2 различных вещественных корня.

Согласно формуле  находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Найдем теперь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения: yч.p.н.

Эта функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов (методом подбора) в том случае, когда его правая часть ,

тогда частное решение находят по формуле:

, где

r – кратность корней  (для дифференциальных уравнений второго порядка r = 0,1,2), N = max (n, m).

В данном дифференциальном уравнении правая часть , .

Т.к. ,

,

Степень многочлена  .

Корни   не кратны корням характеристического уравнения, значит .

Следовательно, , т.е. вид частного решения устанавливается по виду правой части данного уравнения.

Теперь надо найти коэффициенты A, B, C.

Для этого дифференцируем 2 раза  и подставляем в дифференциальное уравнение требуемые функции y, , .

, получаем равенство:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему уравнений:

,

 .

Подставим найденные коэффициенты в функцию: .

3) Искомое общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

Замечание: В общем случае для решения линейных неоднородных уравнений   применяется метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Этот метод достаточно сложен: связан с решением системы уравнений и вычислением интегралов. Поэтому в случаях, когда правая часть уравнения  имеет указанный вид, лучше задачу решать методом неопределенных коэффициентов.