Математический анализ Пределы лекции и задачи

Машиностроительное черчение
Черчение в строительной практике
Оформление чертежа
Эффективность виброзащиты
Построить проекции поверхности
вращения общего вида
Построить проекции прямого геликоида
Построить чертеж кондуктора
Построить чертеж крышки
Построить чертеж траверсы
Построить чертеж подвески
Общие сведения по резьбам
Выполнение сборочного чертежа
Сведения о материале деталей
Нанесение размеров на
сборочном чертеже
Плоская система сходящихся сил
Сопромат, термех
Пространственная система сил
Основные понятия и аксиомы статики
Основные понятия и аксиомы динамики
Элементы кинематики
Основные понятия сопративления материалов
Механические испытания материалов
Расчет бруса круглого поперечного
Плоскопаралельное движение твердого тела
Сопротивление усталости
Инженерная графика
Машиностроение
Графические обозначения материалов
в сечениях
Винтовые поверхности и изделия с резьбой
Винтовая линия
Винтовая лента
Построение проекции винтовой поверхности
Условные изобращения резьбы на чертежах
Многозаходные винты и резьбы
Виды резьб и их обозначения
Метрическая резьба
Трубная цилиндрическая резьба
Трубная коническая резьба
Упорная резьба
Сбег резьбы, фаски, проточки
Болты
Гайки
Винт
Шурупы
Шпилька
Пружинные шайбы
Соединения деталей болтом
Соединение деталей винтами
Упрощенные и условные изображения
резьбовых соединений
Резьбовые соединения труб
Соединения деталей - разъемные
и неразъемные
Резьбовые соединения
Соединение с применением штифтов
Чертежи деталей
Графическая часть чертежа
Нанесение размеров на чертежах деталей
Конструкторские и технологические базы
3 способа несения размеров элементов
деталей
Линейные и узловые размеры
При эскизировании и составлении рабочих
чертежей деталей
Основные сведения о допусках и посадках
Шероховатость поверхностей
и обозначение покрытий
Единая система допусков и посадок
Допуски формы и расположение поверхностей
Текстовые надписи на чертежах
Обозначение материалов на чертежах деталей
Выполнение эскизов деталей
Нанесение изображений элементов детали
Выполнение рабочих чертежей деталей
Выбор главного вида и числа изображений
Чертежи детали, изготовленной литьем
Чертеж детали, изготовленный из пластмассы
Чертежи пружин
Нутромер
Штангенциркуль
Математика
Функции
Вычисление пределов
Непрерывность функций
Производные
Дифференциалы
Математический анализ
Анализ функций
Корни уравнений
Алгебра
Линии и плоскости
Поверхности
Операции с матрицами
Комплексные числа
Матрицы
Дифференцироание функций
Линейные уравнения
Электротехника
Adobe Acrobat
Adobe FrameMaker
Adobe After Effects
Типы локальных сетей
Adobe Illustrator

Ядерные реакторы

Первый ядерный уран-графитовый реактор
Основные технические характеристики РБМК
Водо-водяной реатор, ВВЭР
Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500
Реакторы на быстрых нейтронах
Промышленные реакторы
Исследовательские ядерные реакторы
Реактор БОР-60
Многопетлевой кипящий энергетический
реактор МКЭР-800
Реактор БРЕСТ
Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
Тепловой реактор с внутренней
безопасностью
Энергетическая установка ГТ-МГР
Корпусной реактор ПРБЭР-600
ВВЭР-640 (В-407)
АРГУС

Физика

Электрическое поле
Решение задач по физике примеры
Строение и общие свойства атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Деление и синтез ядер
Квантовая механика
Спин, момент импульса
Атом водорода Принцип Паули

Информатика

Принципы функционирования глобальных
и локальных сетей
Информационно-вычислительные сети
Электротехника
Расчёт электрического поля
Расчёт магнитной цепи
Законы Кирхгофа
Расчёт электрических цепей
Расчёт трёхфазных цепей
Промышленная электроника
Трехфазные электрические цепи
Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике
Методика расчёта линейных электрических цепей
Электротехника лекции
Элементы электрических цепей
Топология электрических цепей.
Переменный ток
Векторные диаграммы
Методы контурных токов и узловых потенциалов.
Основы матричных методов расчета электрических цепей
Мощность в электрических цепях
Резонансные явления
Векторные и топографические диаграммы
Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
Особенности составления матричных уравнений
Метод эквивалентного генератора

Свойство пределов последовательностей

Теорема. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .

Неопределённые выражения Выше были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы переменных xn, yn (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырёх, представляющих некоторую важную и интересную особенность.

Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

Лемма . Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда

Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши. Для его формулировки нам понадобится следующее понятие.

Отсюда следует, что любая фундаментальная последовательность, начиная с некоторого номера, становится ограниченной.

Число «e»

Определение подпоследовательности Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью xn, какую-либо извлечённую из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)

Теорема (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности xn всегда можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходилась бы к конечному пределу.

Наибольший и наименьший пределы Итак, для любой последовательности xn, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Можно показать, что среди этих частичных пределов обязательно найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой последовательности xn

Задание 4.

4 (а).

Решение:

Получим знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда    выполнены условия:

1)

2) ,

то знакочередующийся ряд сходится.

Для остатка ряда  в этом случае справедлива оценка

В данном ряде:

1)

2) , значит данный ряд сходится.

Исследуем теперь сходимость соответствующего знакоположительного ряда:

По признаку Даламбера вычислим

.

Значит, ряд знакоположительный сходится.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся.

Ответ: сходится абсолютно.

 

 

 

 

(б). 

Решение:

I способ:

Определяем радиус сходимости степенного ряда по формуле:

.

Найдем интервал сходимости степенного ряда

Интервал сходимости – (-1; 7)

В данной задаче не требуется исследования на границах интервала. При определении области сходимости, граничные точки интервала исследуют отдельно, подставляя их значения в данный степенной ряд, при этом полученный числовой ряд исследуют по признаку сходимости числового ряда.

Ответ: , (-1; 7).

II способ:

По этому способу сначала найдем интервал сходимости степенного ряда, а затем радиус сходимости его. Для этого применяем признак Даламбера: 

Решим неравенство

(-1; 7) – интервал сходимости.

.

Ответ: , (-1; 7).

 

 

 

 

Задание 5.

5. ,  с точностью до 0,0001

Решение:

Задача решается по определенному алгоритму:

Подинтегральную функцию надо разложить в степенной ряд.

Этот ряд интегрировать в указанных пределах.

Вычисляют несколько последовательных первых членов полученного числового ряда (с одним лишним знаком).

Оценивают погрешность полученного приближенного вычисления. Обычно ограничиваются несколькими первыми слагаемыми. Допускаемая ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующегося ряда, т.к. ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

1) Ряд для данной подинтегральной функции:

  получим из ряда Маклорена биномиальной функции

который сходится в интервале .

Для данной функции  соответствует x.

Тогда

2) Интегрируем в пределах от 0 до

3) 

4) Согласно свойству сходящегося знакочередующегося ряда для вычисления данного интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда.

Ошибка этого приближенного значения меньше 0,00008 (первое слагаемое отброшенного ряда).

Итак, .

Ответ: 0,4969.

 

 

 

 

Задание 6.

6.

Подинтегральная функция  может быть заменена ее рядом Маклорена с использованием ряда для cos x.

 ;

таким образом разложение функции в ряд Маклорена выполнено.

1)

2) Интегрируем в пределах от 0 до 0,3

вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница

3)

Таким образом .

4) Погрешность меньше, чем 0,0000006 (первое слагаемое отброшенного ряда).

Ответ:

II способ:

Подинтегральную функцию  можно разложить по степеням x, используя формулу тригонометрии :

, а далее использовать формулу  (она имеется в учебнике).

Тогда x заменим на  получим ряд:

.

В цифрах аналогия с предыдущим способом.

Ответ: