Математический анализ Пределы лекции и задачи

Свойство пределов последовательностей

Теорема. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .

Неопределённые выражения Выше были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы переменных xn, yn (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырёх, представляющих некоторую важную и интересную особенность.

Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

Лемма . Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда

Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши. Для его формулировки нам понадобится следующее понятие.

Отсюда следует, что любая фундаментальная последовательность, начиная с некоторого номера, становится ограниченной.

Число «e»

Определение подпоследовательности Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью xn, какую-либо извлечённую из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)

Теорема (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности xn всегда можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходилась бы к конечному пределу.

Наибольший и наименьший пределы Итак, для любой последовательности xn, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Можно показать, что среди этих частичных пределов обязательно найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой последовательности xn

Задание 4.

4 (а).

Решение:

Получим знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда    выполнены условия:

1)

2) ,

то знакочередующийся ряд сходится.

Для остатка ряда  в этом случае справедлива оценка

В данном ряде:

1)

2) , значит данный ряд сходится.

Исследуем теперь сходимость соответствующего знакоположительного ряда:

По признаку Даламбера вычислим

.

Значит, ряд знакоположительный сходится.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся.

Ответ: сходится абсолютно.

 

 

 

 

(б). 

Решение:

I способ:

Определяем радиус сходимости степенного ряда по формуле:

.

Найдем интервал сходимости степенного ряда

Интервал сходимости – (-1; 7)

В данной задаче не требуется исследования на границах интервала. При определении области сходимости, граничные точки интервала исследуют отдельно, подставляя их значения в данный степенной ряд, при этом полученный числовой ряд исследуют по признаку сходимости числового ряда.

Ответ: , (-1; 7).

II способ:

По этому способу сначала найдем интервал сходимости степенного ряда, а затем радиус сходимости его. Для этого применяем признак Даламбера: 

Решим неравенство

(-1; 7) – интервал сходимости.

.

Ответ: , (-1; 7).

 

 

 

 

Задание 5.

5. ,  с точностью до 0,0001

Решение:

Задача решается по определенному алгоритму:

Подинтегральную функцию надо разложить в степенной ряд.

Этот ряд интегрировать в указанных пределах.

Вычисляют несколько последовательных первых членов полученного числового ряда (с одним лишним знаком).

Оценивают погрешность полученного приближенного вычисления. Обычно ограничиваются несколькими первыми слагаемыми. Допускаемая ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующегося ряда, т.к. ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

1) Ряд для данной подинтегральной функции:

  получим из ряда Маклорена биномиальной функции

который сходится в интервале .

Для данной функции  соответствует x.

Тогда

2) Интегрируем в пределах от 0 до

3) 

4) Согласно свойству сходящегося знакочередующегося ряда для вычисления данного интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда.

Ошибка этого приближенного значения меньше 0,00008 (первое слагаемое отброшенного ряда).

Итак, .

Ответ: 0,4969.

 

 

 

 

Задание 6.

6.

Подинтегральная функция  может быть заменена ее рядом Маклорена с использованием ряда для cos x.

 ;

таким образом разложение функции в ряд Маклорена выполнено.

1)

2) Интегрируем в пределах от 0 до 0,3

вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница

3)

Таким образом .

4) Погрешность меньше, чем 0,0000006 (первое слагаемое отброшенного ряда).

Ответ:

II способ:

Подинтегральную функцию  можно разложить по степеням x, используя формулу тригонометрии :

, а далее использовать формулу  (она имеется в учебнике).

Тогда x заменим на  получим ряд:

.

В цифрах аналогия с предыдущим способом.

Ответ: