Математический анализ Функции лекции и задачи

Машиностроительное черчение
Черчение в строительной практике
Оформление чертежа
Эффективность виброзащиты
Построить проекции поверхности
вращения общего вида
Построить проекции прямого геликоида
Построить чертеж кондуктора
Построить чертеж крышки
Построить чертеж траверсы
Построить чертеж подвески
Общие сведения по резьбам
Выполнение сборочного чертежа
Сведения о материале деталей
Нанесение размеров на
сборочном чертеже
Плоская система сходящихся сил
Сопромат, термех
Пространственная система сил
Основные понятия и аксиомы статики
Основные понятия и аксиомы динамики
Элементы кинематики
Основные понятия сопративления материалов
Механические испытания материалов
Расчет бруса круглого поперечного
Плоскопаралельное движение твердого тела
Сопротивление усталости
Инженерная графика
Машиностроение
Графические обозначения материалов
в сечениях
Винтовые поверхности и изделия с резьбой
Винтовая линия
Винтовая лента
Построение проекции винтовой поверхности
Условные изобращения резьбы на чертежах
Многозаходные винты и резьбы
Виды резьб и их обозначения
Метрическая резьба
Трубная цилиндрическая резьба
Трубная коническая резьба
Упорная резьба
Сбег резьбы, фаски, проточки
Болты
Гайки
Винт
Шурупы
Шпилька
Пружинные шайбы
Соединения деталей болтом
Соединение деталей винтами
Упрощенные и условные изображения
резьбовых соединений
Резьбовые соединения труб
Соединения деталей - разъемные
и неразъемные
Резьбовые соединения
Соединение с применением штифтов
Чертежи деталей
Графическая часть чертежа
Нанесение размеров на чертежах деталей
Конструкторские и технологические базы
3 способа несения размеров элементов
деталей
Линейные и узловые размеры
При эскизировании и составлении рабочих
чертежей деталей
Основные сведения о допусках и посадках
Шероховатость поверхностей
и обозначение покрытий
Единая система допусков и посадок
Допуски формы и расположение поверхностей
Текстовые надписи на чертежах
Обозначение материалов на чертежах деталей
Выполнение эскизов деталей
Нанесение изображений элементов детали
Выполнение рабочих чертежей деталей
Выбор главного вида и числа изображений
Чертежи детали, изготовленной литьем
Чертеж детали, изготовленный из пластмассы
Чертежи пружин
Нутромер
Штангенциркуль
Математика
Функции
Вычисление пределов
Непрерывность функций
Производные
Дифференциалы
Математический анализ
Анализ функций
Корни уравнений
Алгебра
Линии и плоскости
Поверхности
Операции с матрицами
Комплексные числа
Матрицы
Дифференцироание функций
Линейные уравнения
Электротехника
Adobe Acrobat
Adobe FrameMaker
Adobe After Effects
Типы локальных сетей
Adobe Illustrator

Ядерные реакторы

Первый ядерный уран-графитовый реактор
Основные технические характеристики РБМК
Водо-водяной реатор, ВВЭР
Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500
Реакторы на быстрых нейтронах
Промышленные реакторы
Исследовательские ядерные реакторы
Реактор БОР-60
Многопетлевой кипящий энергетический
реактор МКЭР-800
Реактор БРЕСТ
Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
Тепловой реактор с внутренней
безопасностью
Энергетическая установка ГТ-МГР
Корпусной реактор ПРБЭР-600
ВВЭР-640 (В-407)
АРГУС

Физика

Электрическое поле
Решение задач по физике примеры
Строение и общие свойства атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Деление и синтез ядер
Квантовая механика
Спин, момент импульса
Атом водорода Принцип Паули

Информатика

Принципы функционирования глобальных
и локальных сетей
Информационно-вычислительные сети
Электротехника
Расчёт электрического поля
Расчёт магнитной цепи
Законы Кирхгофа
Расчёт электрических цепей
Расчёт трёхфазных цепей
Промышленная электроника
Трехфазные электрические цепи
Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике
Методика расчёта линейных электрических цепей
Электротехника лекции
Элементы электрических цепей
Топология электрических цепей.
Переменный ток
Векторные диаграммы
Методы контурных токов и узловых потенциалов.
Основы матричных методов расчета электрических цепей
Мощность в электрических цепях
Резонансные явления
Векторные и топографические диаграммы
Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
Особенности составления матричных уравнений
Метод эквивалентного генератора

Функции

Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .

Рассмотрим различные способы задания функций. Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Элементарные функции постоянная у = с, с – константа, степенная у = xp, показательная у = aх (а>0), логарифмическая у = logaх (а>0, a¹1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х и обратные тригонометрические у = arcsin х,
у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, а также гиперболические:

Дробно-рациональные функции (рациональные дроби). К этому классу относятся функции, которые могут быть заданы в виде , где Р(х) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) – ненулевой многочлен.

Предел функции по Гейне Первое определение предела функции

Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.

Предел функции по подмножеству При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.

Непрерывные функции Критерий существования предела функции в точке

Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке.

Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.

Предел функции по Коши Второе определение предела функции Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Эквивалентность двух определений предела функции Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, лежащих по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами.

Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.

Свойства пределов функции Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций.

Свойство. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0.

Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Классификация бесконечно малых функций Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.

Классификация бесконечно больших функций Для бесконечно больших величин может быть развита та же классификация.

Задание 7.

7.

Решение:

I. 1) Находим частные производные первого порядка:, .

2) Необходимые условия существования экстремума:

     

а)   О (0;0) б)    М1 (1;).

Получим 2 критические точки, но необходимые условия могут выполняться и в точках, где нет экстремума.

II. Далее исследуем критические токи О (0; 0), М1 (1;).

Для этого находим производные второго порядка.

и в каждой точке определяем знак определителя

В точке О (0; 0):

.

Согласно достаточному условию, если , то в О (0; 0) экстремума нет.

В точке М1 (1;):

.

т.е.  .

Согласно достаточному условию экстремума  функция z (x, y) в исследуемой точке M1 имеет минимум.

III. Вычислим значение данной функции  в точке

М1 (1;).

.

Ответ: .

 

 

 

 

 

Задание 8.

8. .

Решение:

1) Сначала сделаем чертеж замкнутой области D, построив прямую затем,  – это ось Oy,  – это ось Ox.

Получили DOAB.

2) Теперь исследуем функцию z (x; y) на экстремум внутри DOAB:

а)

б)

  ,

т.к. внутри DOAB , , то в системе уравнений можно сократить на x и y, тогда имеем:

.

Точка Po (1; ) лежит внутри DOAB. Вычислим значение данной функции в стационарной точке Po (1; ):

,

.

3) Далее найдем наибольшее и наименьшее значения данной функции   на границах области D.

  – на этой границе значение функции равно 0.

  – на этой границе .

  – это уравнение связывает 2 переменные.

Найдем одну из них, например, , на этой прямой , а данная функция может быть выражена через одну переменную x, т.е. подставим  в функцию , получим:

.

Согласно правилу, указанному для функции одной переменной поступаем так:

а) находим стационарные точки внутри [0; 6], для этого находим , решаем уравнение :

 

  – граничная точка, как было сказано .

При , , т.е. P (4; 2) на границе AB.

б) Вычислим .

4) Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции  в области D: (в виде DOAB) надо искать среди следующих ее значений:

внутри DOAB: ;

на границах  (в том числе и в вершинах) ; на границе .

Из полученных значений функции  видим, что наибольшее значение  функция принимает в точке Po (1; ), а наименьшее  на границе AB в точке P (4, 2).

Ответ: .