Математический анализ Функции лекции и задачи

Функции

Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .

Рассмотрим различные способы задания функций. Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Элементарные функции постоянная у = с, с – константа, степенная у = xp, показательная у = aх (а>0), логарифмическая у = logaх (а>0, a¹1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х и обратные тригонометрические у = arcsin х,
у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, а также гиперболические:

Дробно-рациональные функции (рациональные дроби). К этому классу относятся функции, которые могут быть заданы в виде , где Р(х) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) – ненулевой многочлен.

Предел функции по Гейне Первое определение предела функции

Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.

Предел функции по подмножеству При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.

Непрерывные функции Критерий существования предела функции в точке

Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке.

Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.

Предел функции по Коши Второе определение предела функции Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Эквивалентность двух определений предела функции Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, лежащих по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами.

Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.

Свойства пределов функции Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций.

Свойство. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0.

Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Классификация бесконечно малых функций Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.

Классификация бесконечно больших функций Для бесконечно больших величин может быть развита та же классификация.

Задание 7.

7.

Решение:

I. 1) Находим частные производные первого порядка:, .

2) Необходимые условия существования экстремума:

     

а)   О (0;0) б)    М1 (1;).

Получим 2 критические точки, но необходимые условия могут выполняться и в точках, где нет экстремума.

II. Далее исследуем критические токи О (0; 0), М1 (1;).

Для этого находим производные второго порядка.

и в каждой точке определяем знак определителя

В точке О (0; 0):

.

Согласно достаточному условию, если , то в О (0; 0) экстремума нет.

В точке М1 (1;):

.

т.е.  .

Согласно достаточному условию экстремума  функция z (x, y) в исследуемой точке M1 имеет минимум.

III. Вычислим значение данной функции  в точке

М1 (1;).

.

Ответ: .

 

 

 

 

 

Задание 8.

8. .

Решение:

1) Сначала сделаем чертеж замкнутой области D, построив прямую затем,  – это ось Oy,  – это ось Ox.

Получили DOAB.

2) Теперь исследуем функцию z (x; y) на экстремум внутри DOAB:

а)

б)

  ,

т.к. внутри DOAB , , то в системе уравнений можно сократить на x и y, тогда имеем:

.

Точка Po (1; ) лежит внутри DOAB. Вычислим значение данной функции в стационарной точке Po (1; ):

,

.

3) Далее найдем наибольшее и наименьшее значения данной функции   на границах области D.

  – на этой границе значение функции равно 0.

  – на этой границе .

  – это уравнение связывает 2 переменные.

Найдем одну из них, например, , на этой прямой , а данная функция может быть выражена через одну переменную x, т.е. подставим  в функцию , получим:

.

Согласно правилу, указанному для функции одной переменной поступаем так:

а) находим стационарные точки внутри [0; 6], для этого находим , решаем уравнение :

 

  – граничная точка, как было сказано .

При , , т.е. P (4; 2) на границе AB.

б) Вычислим .

4) Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции  в области D: (в виде DOAB) надо искать среди следующих ее значений:

внутри DOAB: ;

на границах  (в том числе и в вершинах) ; на границе .

Из полученных значений функции  видим, что наибольшее значение  функция принимает в точке Po (1; ), а наименьшее  на границе AB в точке P (4, 2).

Ответ: .