Математический анализ Исследование функции лекции и задачи

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Точки разрыва функции и их классификация Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Критерий существования предела функции Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Критерий Коши существования предела функции В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.

Предел и непрерывность композиции функции Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиции функций, каждая из которых имеет соответствующий предел.

Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения.

Свойства функций, непрерывность на отрезке

Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности

Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций Теорема (теорема Больцано–Коши).

Непрерывность на отрезке Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)). Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

В силу леммы 6, функция  однозначная и строго возрастает на отрезке Равномерная непрерывность

Ñ По формуле . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому  и при . #

15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12, , и потому .#

16. Найти объем тела  ; , .

Ñ Из формулы  . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис. 19).

Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам  по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются: 1); 2) ;

3)  или ;

4) ;

5) ; 6) .

 


Область изменения сферических координат точек области V есть .

Тогда =

=

. #


Методические указания и решения задач самостоятельной расчетно-графической работы.

Задание 1.

1.

а) 

Анализ задачи.

Подставив значение  в числитель и знаменатель

,

 мы имеем неопределенность , но преобразованиями данной дроби освободимся от неопределенности. Для этого числитель и знаменатель разделим на одно и то же ненулевое число , от этого значение дроби не изменится.

Следовательно:

Ответ:  .

б) 

Анализ задачи:

Отсюда видно, что непосредственное применение теорем о пределах привело к неопределенности , для раскрытия неопределенности надо опять провести тождественное преобразование для многочленов, стоящих в числителе и знаменателе данного предела. Т.к. (конечному значению), то надо разложить на множители числитель и знаменатель по формуле

Находим корни уравнения

;

.

Значит, .

Аналогично решаем

.

Отсюда,

Данный предел

  в точке  – непрерывна, то, подставив  в нее, получим ответ .

Ответ:  .

в) 

Решение:

Решение привело к формуле второго замечательного предела , где

при   , а .

Ответ: .

Можно решение выполнить следующим образом.

Замена переменной , при  , т.е. .

Найдем x из подстановки .

Значит,

Использовали формулу второго замечательного предела в виде:

Ответ: .