Математический анализ Производная функции лекции и задачи

Определение производной функции Если для некоторого значения x0 существуют пределы , или , или , то говорят, что при x=x0 существует бесконечная производная или, соответственно, бесконечная производная определённого знака, равная +¥ или –¥.

Вычисление производной от функции называется дифференцированием.

Примеры. Вычислить производную функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в той же точке.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке

Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную.

Предельное положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при M®M0, называется касательной к графику функции f в точке M0.

Физический смысл производной и дифференциала

Правила вычисления производных Пример. Вычислить производную функций .

Производная обратной функции Пользуясь формулой, вычислить производную функций .

Производная и дифференциал сложной функции Условие существования производной сложной функции

Инвариантность формы первого дифференциала функции Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной)

Гиперболические функции и их производные Функции   называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Определение производных высших порядков

Производные высших порядков суммы и произведения функций

Производные высших порядков от сложных функций

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.

Дифференциалы высших порядков

Задание 2.

2. (а, б)

Вычисление производных функций в условиях этих пунктов производиться по формулам и правилам, указанным на стр. 16, 17, что касается пункта (в), то решение можно выполнить, используя предварительное логарифмирование (метод логарифмического дифференцирования).

Например, дана функция: . Найти .

Решение:

Логарифмируем по основанию е обе части данной функции

Использовали свойство логарифмов . Получили неявную функцию. Дифференцируем ее по правилу произведения , при этом используем формулы

,  умножим обе части на y,

тогда получим

; но , значит

.

Ответ:  .

Замечание: Можно далее продолжать алгебраические преобразования, но мы не будем их делать: достаточно показать, прежде всего, технику дифференцирования.

Можно решить эту задачу, используя формулу производной степенно-показательной функции: .

В данной задаче , .

Значит,

вынесем  за скобки

Ответ: .

Как видим, результаты решения совпадают.

Задание 3.

Построить график функции с полным исследованием.

3.

Общая схема исследования функции:

 Общую схему полного исследования функции разделим на 4 этапа:

Исследование функции без производных.

Исследование функции с использованием производной первого порядка.

Исследование функции с использованием производной второго порядка.

Эскиз графика по полученным данным.

Решение:

I. Исследование функции без производных.

1) Область определения функции D(y)=(-∞; 2)È(2; ∞), т.к. при x=2 дробь  не существует.

2) четность/нечетность функции.

Проверим равенства:

  – определение четной функции.

  – определение нечетной функции.

Вычислим:

Значит, данная функция не является четной, и не является нечетной.

Геометрически это обозначает, что график данной функции не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно точки O(0,0) – начала координат.

3) Найдем дополнительные точки, в частности точки пересечения графика функции с осями координат. В данном случае это довольно легко найти.

При  .

Найдена точка A(0;-9).

При  

Решим это уравнение, сделав некоторые преобразования:

Т.к.  решаемое уравнение не имеет действительных корней, а это значит точек пересечения с осью Ox график не имеет.

4) Находим асимптоты графика функции.

Прямая   является вертикальной асимптотой, т.к. при  функция имеет бесконечный разрыв. Наклонные асимптоты найдем, используя формулу:

, где

Используя формулу , найдем

.

Подставим ,  в уравнение .

Получим уравнение наклонной асимптоты .