Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Машиностроительное черчение
Черчение в строительной практике
Оформление чертежа
Эффективность виброзащиты
Построить проекции поверхности
вращения общего вида
Построить проекции прямого геликоида
Построить чертеж кондуктора
Построить чертеж крышки
Построить чертеж траверсы
Построить чертеж подвески
Общие сведения по резьбам
Выполнение сборочного чертежа
Сведения о материале деталей
Нанесение размеров на
сборочном чертеже
Плоская система сходящихся сил
Сопромат, термех
Пространственная система сил
Основные понятия и аксиомы статики
Основные понятия и аксиомы динамики
Элементы кинематики
Основные понятия сопративления материалов
Механические испытания материалов
Расчет бруса круглого поперечного
Плоскопаралельное движение твердого тела
Сопротивление усталости
Инженерная графика
Машиностроение
Графические обозначения материалов
в сечениях
Винтовые поверхности и изделия с резьбой
Винтовая линия
Винтовая лента
Построение проекции винтовой поверхности
Условные изобращения резьбы на чертежах
Многозаходные винты и резьбы
Виды резьб и их обозначения
Метрическая резьба
Трубная цилиндрическая резьба
Трубная коническая резьба
Упорная резьба
Сбег резьбы, фаски, проточки
Болты
Гайки
Винт
Шурупы
Шпилька
Пружинные шайбы
Соединения деталей болтом
Соединение деталей винтами
Упрощенные и условные изображения
резьбовых соединений
Резьбовые соединения труб
Соединения деталей - разъемные
и неразъемные
Резьбовые соединения
Соединение с применением штифтов
Чертежи деталей
Графическая часть чертежа
Нанесение размеров на чертежах деталей
Конструкторские и технологические базы
3 способа несения размеров элементов
деталей
Линейные и узловые размеры
При эскизировании и составлении рабочих
чертежей деталей
Основные сведения о допусках и посадках
Шероховатость поверхностей
и обозначение покрытий
Единая система допусков и посадок
Допуски формы и расположение поверхностей
Текстовые надписи на чертежах
Обозначение материалов на чертежах деталей
Выполнение эскизов деталей
Нанесение изображений элементов детали
Выполнение рабочих чертежей деталей
Выбор главного вида и числа изображений
Чертежи детали, изготовленной литьем
Чертеж детали, изготовленный из пластмассы
Чертежи пружин
Нутромер
Штангенциркуль
Математика
Функции
Вычисление пределов
Непрерывность функций
Производные
Дифференциалы
Математический анализ
Анализ функций
Корни уравнений
Алгебра
Линии и плоскости
Поверхности
Операции с матрицами
Комплексные числа
Матрицы
Дифференцироание функций
Линейные уравнения
Электротехника
Adobe Acrobat
Adobe FrameMaker
Adobe After Effects
Типы локальных сетей
Adobe Illustrator

Ядерные реакторы

Первый ядерный уран-графитовый реактор
Основные технические характеристики РБМК
Водо-водяной реатор, ВВЭР
Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500
Реакторы на быстрых нейтронах
Промышленные реакторы
Исследовательские ядерные реакторы
Реактор БОР-60
Многопетлевой кипящий энергетический
реактор МКЭР-800
Реактор БРЕСТ
Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
Тепловой реактор с внутренней
безопасностью
Энергетическая установка ГТ-МГР
Корпусной реактор ПРБЭР-600
ВВЭР-640 (В-407)
АРГУС

Физика

Электрическое поле
Решение задач по физике примеры
Строение и общие свойства атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Деление и синтез ядер
Квантовая механика
Спин, момент импульса
Атом водорода Принцип Паули

Информатика

Принципы функционирования глобальных
и локальных сетей
Информационно-вычислительные сети
Электротехника
Расчёт электрического поля
Расчёт магнитной цепи
Законы Кирхгофа
Расчёт электрических цепей
Расчёт трёхфазных цепей
Промышленная электроника
Трехфазные электрические цепи
Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике
Методика расчёта линейных электрических цепей
Электротехника лекции
Элементы электрических цепей
Топология электрических цепей.
Переменный ток
Векторные диаграммы
Методы контурных токов и узловых потенциалов.
Основы матричных методов расчета электрических цепей
Мощность в электрических цепях
Резонансные явления
Векторные и топографические диаграммы
Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
Особенности составления матричных уравнений
Метод эквивалентного генератора

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Геометрический смысл теоремы Лагранжа Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши

О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Неопределённости вида

Вывод формулы Тейлора Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано. Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно.

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.

Исследование поведения функции Признак монотонности функции Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Отыскание наибольших и наименьших значений функции

Выпуклость и точки перегиба Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба).

Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.

Общая схема построения графиков функции Асимптоты

Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке

Исследование функции с использованием производной первого порядка.

Находим:

.

С помощью производной первого порядка найдем:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) локальные экстремумы (max, min).

1) для этого решаем уравнение

Можно решить это уравнение, не находя , а следующим образом:

.

Значит

.

Следует помнить, что точку разрыва производной  надо учитывать, она не является критической точкой данной функции, но на количество промежутков может повлиять.

Составим таблицу следующего вида:

x

(-∞; 1,2)

1,2

(1,2; 2)

(2; 2,8)

2,8

(2,8; ∞)

+

0

0

+

y

возрастает

-6,9

убывает

убывает

2,9

возрастает

max

min

x

(-∞ ; 2)

(2 ; ∞)

+

y

выпуклая

вогнутая

Вычислим:

III. Исследование функции с использованием производной второго порядка.

.

С помощью второй производной найдем:

1) промежутки выпуклости и вогнутости графика;

2) точки перегиба графика функции.

1) , т.к. дробь .

Точка   – точка разрыва второй производной, ее надо учитывать.

В таблицу по аналогии с  вносим требуемые значения, для определения знаков второй производной на промежутках, подставляем в нее числа из промежутков (по аналогии со знаками  на ее промежутках).

Для построения графика функции лучше совместить таблицу с таблицей выше составленной для . На этом исследование функции закончено, остается построить график функции.

 

 

 

Эскиз графика по полученным данным.

Используя все данные из (I) и из таблицы строим график данной функции.

В точке ,  изменила свой знак, т.е. выпуклая часть графика перешла в вогнутую, но  не является точкой перегиба, т.к. функция  в этой точке не существует: имеет бесконечный разрыв.

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.

В задании 4 во всех вариантах пункт а) интеграл сразу вычисляется непосредственно по одной из формул приведенной таблицы интегралов. В пункте б) задан интеграл от квадратного трехчлена.

4. б) Вычислить:

Решение:

Выделили полный квадрат двучлена , для этого прибавили  и отняли .

Тогда:

.

Использовали формулу №11 из таблицы

Ответ: 

4.  в) Вычислить: .

Решение:

Этот интеграл вычислим методом интегрирования по частям по формуле:

Чтобы применить эту формулу положим

Найдем:

1) 

.

2) 

И запишем решение в виде:

Ответ: