Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Геометрический смысл теоремы Лагранжа Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши

О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Неопределённости вида

Вывод формулы Тейлора Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано. Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно.

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.

Исследование поведения функции Признак монотонности функции Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Отыскание наибольших и наименьших значений функции

Выпуклость и точки перегиба Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба).

Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.

Общая схема построения графиков функции Асимптоты

Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке

Исследование функции с использованием производной первого порядка.

Находим:

.

С помощью производной первого порядка найдем:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) локальные экстремумы (max, min).

1) для этого решаем уравнение

Можно решить это уравнение, не находя , а следующим образом:

.

Значит

.

Следует помнить, что точку разрыва производной  надо учитывать, она не является критической точкой данной функции, но на количество промежутков может повлиять.

Составим таблицу следующего вида:

x

(-∞; 1,2)

1,2

(1,2; 2)

(2; 2,8)

2,8

(2,8; ∞)

+

0

0

+

y

возрастает

-6,9

убывает

убывает

2,9

возрастает

max

min

x

(-∞ ; 2)

(2 ; ∞)

+

y

выпуклая

вогнутая

Вычислим:

III. Исследование функции с использованием производной второго порядка.

.

С помощью второй производной найдем:

1) промежутки выпуклости и вогнутости графика;

2) точки перегиба графика функции.

1) , т.к. дробь .

Точка   – точка разрыва второй производной, ее надо учитывать.

В таблицу по аналогии с  вносим требуемые значения, для определения знаков второй производной на промежутках, подставляем в нее числа из промежутков (по аналогии со знаками  на ее промежутках).

Для построения графика функции лучше совместить таблицу с таблицей выше составленной для . На этом исследование функции закончено, остается построить график функции.

 

 

 

Эскиз графика по полученным данным.

Используя все данные из (I) и из таблицы строим график данной функции.

В точке ,  изменила свой знак, т.е. выпуклая часть графика перешла в вогнутую, но  не является точкой перегиба, т.к. функция  в этой точке не существует: имеет бесконечный разрыв.

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.

В задании 4 во всех вариантах пункт а) интеграл сразу вычисляется непосредственно по одной из формул приведенной таблицы интегралов. В пункте б) задан интеграл от квадратного трехчлена.

4. б) Вычислить:

Решение:

Выделили полный квадрат двучлена , для этого прибавили  и отняли .

Тогда:

.

Использовали формулу №11 из таблицы

Ответ: 

4.  в) Вычислить: .

Решение:

Этот интеграл вычислим методом интегрирования по частям по формуле:

Чтобы применить эту формулу положим

Найдем:

1) 

.

2) 

И запишем решение в виде:

Ответ: