Неопределенный интеграл лекции и задачи

Определение и свойства неопределенного интеграла Первообразная и неопределённый интеграл

Основные свойства интеграла Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём   или, что то же самое, . Вычислить двойной интеграл

Табличные интегралы Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида , может быть обращена (записана в виде интегральной формулы) .

Нахождение неопределенных интегралов Интегрирование подстановкой

Интегрирование по частям Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём .

Интегрирование рациональных функций Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где  – некоторые многочлены.

Интегрирование трансцендентных функций

Задание 5.

5.

Решение:

По условию задачи требуется вычислить площадь фигуры, ограниченную графиками данных функций.

Прежде всего, надо сделать чертеж.

По условию задачи даны 2 линии и они образуют замкнутую фигуру. Поэтому, во-первых, найдем точки пересечения функций, для этого решим систему уравнений:

   

   .

1)    (6; 3).

2)    (1; ).

Таким образом, найдены 2 точки А (1; ), В (6; 3).

Во-вторых, построим прямую . Для этого достаточно иметь 2 точки: А (1; ), В (6; 3).

Вторая кривая  является параболой, ветви которой направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, полагая  получим уравнение:

 .

Получим точки О (0; 0), М (8; 0).

Этих данных достаточно, чтобы сделать чертеж к задаче.

Вычислим теперь , для этого используем формулу

Ответ:   (ед. площади).


 

Методические указания и решения примерных задач контрольной работы.

Задание 1.

1. Рассмотри уравнение

Найдём его общее решение, используя обозначение ; ; ; (переменные разделили).

Интегрируем уравнение  (C – произвольная постоянная интегрирования). Вычисляем интегралы, получим

 

 

Получим общее решение данного уравнения. Нетрудно проверить, что функция  удовлетворяет данному уравнению при любом значении С, при различных значения С получаем различные решения. Геометрически получаем семейство интегральных кривых в виде гипербол (график обратной пропорциональной зависимости).

Найдём частное решение, удовлетворяющее, например, начальному условию y=1, x=1. Подставим эти значения в функцию  , получим ; тогда  - частное решение данного уравнения, геометрически получена гипербола, проходящая через точку .

Найдём второе частное решение, удовлетворяющее условию . Поступая аналогично, получим уравнение , тогда частное решение , удовлетворяет начальному условию . Геометрически получена гипербола, проходящая через точку .

Таким образом, частным решением дифференциального уравнения  называется функция, которая получается из общего решения при определённом значении постоянной С.