Методика расчёта линейных электрических цепей Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике Трехфазные электрические цепи Промышленная электроника

Расчет методом узловых потенциалов

 Будем рассматривать установившийся режим в линейной цепи при гармоническом воздействии. Тогда справедлив символический метод расчета, применительно к схеме, рис.6. Для чего подключаем узел с номером «0» к корпусу и считаем его опорным с потенциалом равным нулю. Тогда разность потенциалов между опорным узлом и каким – либо другим дает искомое напряжение.

 Запишем выражения для элементов схемы: комплексная единица ; реактивные сопротивления элементов , , ,рад,   или ; , или .

Комплексные сопротивления ветвей и соответствующая им матрица При этом на всех элементах, включённых параллельно, действует одно напряжение, а токи в этих элементах обратно пропорциональны их сопротивлениям.

, Z=,

Комплексные проводимости ветвей и соответствующая им матрица

, Y=.

Система уравнений для узловых потенциалов

.

Cобственные и взаимные проводимости узлов:

   

Матрицы комплексных собственных и взаимных проводимостей:

  YU=.

Определяем узловые токи с учетом выбранных направлений источников ЭДС и токов (рис.5 и 6)

 

Решение системы уравнений – узловые потенциалы:

=YU1 

Построим векторную диаграмму баланса токов в первом узле. Для этого сформируем вспомогательную матрицу и представим решение на комплексной плоскости

Но в моделях их вполне можно заменять с учётом Zвнутр. Если мы имеем источник тока I, то на разомкнутом выходе АВ он должен создавать напряжение U=Zвн I. Но тоже самое сделает источник э.д.с с выходным напряжением V= Zвн I, но с таким же внутренним сопротивлением Zвнутр . Поэтому их замена вместе с Zвнутр относительно выходов АВ осуществима. Можно сделать и обратную замену - источник тока на источник э.д.с (I=V/Z).
Необходимо также учитывать то, что идеальные источники тока всегда подключаются параллельно, а идеальные источники э.д.с - последовательно. Учёт и внутреннего сопротивления позволяет снять эти ограничения.
Обратите внимание, что последовательное подключение любого сопротивления последовательно с идеальным источником тока, также как и параллельное подключение любого сопротивления к идеальному источнику э.д.с. не меняют их выходного сопротивления.
Попробуем решить простую задачу.
По техническим условиям требуется произвести электротехнический расчёт термонагревателя мощностью 100 Вт для автомобиля.
Источником питания в автомобиле служит свинцово-кислотная аккумуляторная батарея с подзарядом от индукционного генератора постоянного тока, подключенного к двигателю автомобиля. Напряжение на клеммах U = 12 1 В. Среднее значение внутреннего сопротивления многих автомобильных аккумуляторов составляет около 25мОм.
Так как мы имеем источник постоянного тока, то элементы L и С и реактивную мощность мы не учитываем.

Задача 1.6

Для схемы (рис. 1.14) по законам Кирхгофа составить систему уравнений для определения токов.

Решение

Выберем условно положительное направление токов в ветвях. В электрической цепи число ветвей В=7, источников тока ИТ=2. Система должна содержать число уравнений

.

Следовательно, необходимо составить пять уравнений по законам Кирхгофа. В электрической цепи число узлов У=4, т.е. по первому закону Кирхгофа может быть составлено  независимых уравнений:

узел а: ,

узел b: ,

узел c: .

Тогда число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа:

.

Выбираем контуры так, чтобы они не содержали источников тока.

Для контура  имеем

,

для контура

.


Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей