Методика расчёта линейных электрических цепей Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике Трехфазные электрические цепи Промышленная электроника

Расчет методом контурных токов

Граф расчетной схемы приведен на рис. 18, на нем указаны контурные токи в пяти независимых контурах.

Уравнения для расчета контурных токов в матричной форме представим в виде

где  В и ВТ- контурная и транспонированная контурная матрицы, Z-диагональная матрица сопротивлений ветвей, Е - матрица - столбец ЭДС ветвей (см выше), Ik - вектор неизвестных контурных токов.

Рис.18. Граф заданной электрической цепи, подготовленный для расчета методом контурных  токов

Составим котурную матрицу В. Количество строк матрицы равно числу q независимых контуров (для варианта 0-22 q = 5), а номер строки - номеру контура графа. Число столбцов матрицы n соответствует числу ветвей в схеме (n= 9), номер столбца определяет­ся номером ветви. Отметим, что элементы строки матрацы В являются коэффициентами уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для соответствующего электрического контура.

Запишем первую строку контурной матрицы. Поскольку первый контур графа обра­зован 4, 6 и 9-й ветвями (см. рис.18), элементы строки с этими же номерами рав­ны «1» или «-1». Знак плюс ставится в том случае, если направление обхода контура сов­падает с направлением тока в ветви графа. Если они не совпадают, то ставятся знак минус. Поэтому на четвертом месте в строке стоит цифра 1, а шестой и девятый элементы строки равны «1». Следующие строки матрицы формируются тем же способом.

 Ранее определены полные сопротивления ветвей ZB. Составим диагональную матрицу сопротивлений ветвей Z:

Левая часть матричного уравнения для контурных токов

Находим контурные токи Ik и токи ветвей IВ:

 

 

езультаты расчетов двумя методами идентичны.

В случае нелинейных аналоговых элементов так просто не отделаешься. В отличие от линейных уравнений их приходится решать численными способами. И здесь на помощь приходит вычислительная техника. Программируемые калькуляторы позволили считать матрицы высоких порядков. Эта линия продолжается, только с использованием программы MatLab. Появление больших вычислительных машин дало возможность считать нелинейные системы уравнений. Так в университете Беркли в начале 60-х годов прошлого века появилась программа SPICE, которая после появления персональных компьютеров преобразовалась в РSPICE и вошла блоком в комплексы по проектированию электронных устройств на печатных платах ORCAD и PCAD.
При разработке этой программы были созданы математические модели основных нелинейных элементов, используемых в электронике, так называемые SPICE-модели, которые используются и в других аналогичных программах. В настоящее время производители полупроводниковых элементов (вендоры) считают своим долгом выставлять в Интернете SPICE-модели выпускаемых ими приборов.
В начале для расчётов использовался обычный метод конечных разностей, но вносимая пошаговая ошибка вынуждает разработчиков совместно с математиками постоянно совершенствовать методики расчёта системы нелинейных интегральных уравнений,
(см., например, итерационный метод Ньютона-Рафсона).
Развитие графических интерфейсов компьютеров привели к созданию программ MicroCAP и ICAP, которые позволили пользователю вводить в машину непосредственно аналоговую схему, а впоследствии и цифровую, и получать данные расчёта в виде красивых графиков. Специально для "продвинутых" пользователей была выпущена программа Workbench, где для составления схем используют образы аналоговых элементов, а для вывода расчётных данных - образы измерительных приборов. У пользователя создаётся иллюзия лабораторного моделирования, столь любимого радиолюбителями.

Задача 2.7

В цепи (рис. 2.14) R=4 Ом, L=1 мГн, C=100 мкФ, ω=5∙103 с-1.

Определить мгновенные значения i, uR, uL, uC .

Решение

Комплексное сопротивление цепи

.

Подставляя численные значения величин, получаем  Ом,  Ом,  Ом,  Ом, , .

Так как , , , , то

,

,

,

.


На рис. 2.15 изображены частотные характеристики , .


Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей