Методика расчёта линейных электрических цепей Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную Примеры выполнения курсовой работы по электротехнике Трехфазные электрические цепи Промышленная электроника

Резонансные свойства электрических цепей синусоидального тока

  Мы уже знаем, что алгебраическая форма комплексного сопротивления Z имеет действительную R и мнимую jX части

.

Значение действительной и мнимой частей определяются составом и структурой схемы. Для схемы с последовательно включенными R, L, и С элементами реактивное сопротивление

  Очевидно, что значение слагаемых зависит от частоты . При малых частотах емкостная составляющая имеет большое значение, а индуктивная - малое. Поэтому реактивное сопротивление схемы Х принимает емкостной характер. При больших частотах Х принимает индуктивный характер. Существует такая частота  при которой

При этой частоте реактивное сопротивление равно нулю, а комплексное сопротивление цепи становится активным. Такой режим выделяют особо и называют резонансным. Способы гашения электрической дуги Задачи дугогасительных устройств состоит в обеспечении гашения электрической дуги за минимальное время с допустимым уровнем перенапряжений, малом износе контактов, минимальном объеме распыленных газов, с минимальным звуковым и световым эффектами.

 При резонансном режиме работы электрической цепи принимают режим, при котором ее сопротивление является чисто активным.

  Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

Резонанс токов

 Резонанс токов возникает в цепи с параллельным включением элементов (рис.5.1). Такая цепь содержит два сложных потенциальных узла, а все элементы находятся под одним и тем же напряжением

  (5.1)

Для любого из узлов - 1 или 1’ справедлив первый закон Кирхгофа:

   (5.2)

Применяя к (5.2) выражения (1.7) и (1.12) приведем его к виду

   (5.3)

Подставим в (5.3) вместо u(t) его значение из (5.1) и решим его

   (5.4)

Векторная диаграмма, построенная по (5.4) приведена на рис. 5.2. В качестве исходного в ней принят общий для всех элементов цепи вектор напряжения. С этим вектором совпадает по направлению вектор тока через резистор. Его величина равна

Вектор тока через индуктивность  отстает от вектора напряжения, а вектор тока через емкость опережает его на 90о. Проведем последовательное сложение векторов . Результатом сложения является вектор Он сдвинут по фазе относительно вектора  на угол j. Разность векторов  дает вектор реактивного тока . Его величина

  (5.5)

Векторы и  образуют треугольник токов. Для этого треугольника справедливы выражения

 (5.6)

   (5.7)

Треугольник токов наглядно показывает, что для достижения резонанса в цепи необходимо обеспечить равенства противофазных токов  и . Тогда результирующий реактивный ток цепи   и угол j будут равны нулю, а сопротивление цепи станет активным. Из выражения (5.5) видно что  может быть равно нулю при соблюдении условия

   (5.8)

Отсюда легко определить:

-частоту , на которой наступает резонанс (резонансную частоту) при заданных значениях элементов L и С

 ;  (5.9)

-значение одного из элементов L или С, если заданы резонансная частота и другой элемент

  . (5.10) 

 Определим значение тока всей цепи и токов, протекающих в ее ветвях в режиме резонанса.

 Действующее значение тока всей цепи  на частоте  легко найти по (5.6)

  (5.11)

Но это значение равно току, протекающему через активное сопротивление цепи   т.е.

  (5.12)

 Ток, протекающий через элемент L определим по закону Ома

. (5.13)

Подставляя в (5.13) вместо U его значение из (5.11) получим

  (5.14)

Аналогично определяем выражение для тока через элемент

  (5.15)

Принимая во внимание (5.8) нетрудно сделать вывод о том, что токи протекающие через индуктивный и емкостной элементы равны по величине, но противоположны по фазе. Величина Q равная

  (5.16)

может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью.

Резонанс токов.

Резонанс токов для цепи с потерями энергии в обеих ветвях может иметь место в простом параллельном колебательном контуре (рис. 3.2).


Условие резонанса токов

или

.  (3.12)

Угловая резонансная частота

,  (3.13)

где  – характеристическое сопротивление.

Сопротивление параллельного контура при резонансе

.  (3.14)

Добротность контура

.  (3.15)

Ток в неразветвленной части цепи при резонансе

.  (3.16)


Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей