Переменный ток Интерференция света Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную Наблюдение интерференции с помощью бипризмы. Дифракция света Поляризация света Задача Двойное лучепреломление.

Решение задач по физике примеры

Общие свойства гармонических колебаний.

Точка совершает гармонические колебания, если её отклонение от положения равновесия зависит от времени по закону:

x(t) = A×cos(wt + j0). (1.1)

Параметр А называется амплитудой, w - циклической (круговой) частотой, (wt + j0) – фазой, j0 – начальной фазой колебаний. Величина T = 2p/w называется периодом колебаний.

 Дифференцируя (1.1) по времени, получаем зависимости скорости колеблющейся по гармоническому закону точки и её ускорения от времени:

  (t) = - Aw sin(wt + j0) = Aw cos(wt + j0 + p/2) (1.2)

  (t) = - Aw2 cos(wt + j0) = Aw2 cos(wt + j0 + p). (1.3)

Из соотношений (1.2) и (1.3) следует, что максимальная величина скорости колебательного движения (амплитуда скорости) равна Vmax = Aw, а ускорение точки в любой момент времени пропорционально её отклонению от положения равновесия

 (t) = - w2×x(t). (1.4) Прохождение сигнала через параметрические цепи первого порядка. Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид

Таким образом, если при решении какой-то физической задачи некоторая величина (например, координата тела в механике или заряд конденсатора в электричестве) окажется пропорциональной ее второй производной по времени с обратным знаком, то эта величина зависит от времени по гармоническому закону (1.1), причем коэффициент пропорциональности между величиной и ее второй производной определяется частотой собственных колебаний  .

При решении конкретной физической задачи собственная частота гармонических колебаний определяется только параметрами осциллятора (такими, как масса колеблющегося тела, коэффициент жесткости пружины, емкость конденсатора, индуктивность катушки в колебательном контуре и т.п.). Амплитуду колебаний А и начальную фазу j0 получают, используя два начальных условия – начальное смещение от среднего положения и начальную скорость точки. Следует иметь в виду, что при электрических колебаниях в колебательном контуре аналогом смещения является заряд конденсатора; соответственно, скорости точки – сила тока в цепи.

 Решим несколько задач, которые помогут лучше понять общие свойства гармонических колебаний.

 Задача

1.1. Зависимость смещения точки по оси Y (в метрах) от времени показана на рисунке. Опишите эту зависимость уравнением y = A×cos(wt + j0), подобрав значения параметров А, w и j0.

Решение

 Из рисунка видно, что максимальное отклонение точки от положения равновесия и, следовательно, амплитуда колебаний А = 1 м. Период колебаний T = 2 c, отсюда w = 2p/T = p c-1. Наконец, в начальный момент времени (t = 0) y = cosj0 = 0. Это может быть при j0 = p/2 и j0 = 3p/2. Однако начальная скорость, как это видно из рисунка, V0 < 0. Поскольку V0 = –Aw×sinj0, а sinp/2 > 0, правильным является именно значение j0 = p/2.

 Ответ: y = cos(pt + p/2) м.

Задача Частица совершает гармонические колебания по оси X. В некоторый момент времени смещение частицы от положения равновесия x1 = 0,3 м, ее скорость V1= – 4 м/c и ускорение A1= – 30 м/с2. Определите амплитуду и частоту колебаний частицы.

Решение.  Уравнение движения частицы x = A×cos(wt + j0). В некоторый момент времени t1 cмещение  частицы от положения равновесия x1 = A×cos(wt1 + j0), ее скорость V1 = – Aw×sin(wt1 + j0),  а ускорение A1 = – Aw2cos(wt1 + j0).  Поскольку при гармонических колебаниях A1 = – w2x1,  имеем w = . Суммируя функции cos2(wt1 + j0) + sin2(wt1 + j0)  = (x1/А)2 + (V1/Аw)2 = (1/А)2(x12 - x1×V12/A1) = 1, получаем А = x1.

 Ответ:  А = x1 = 0,5 м; w = = 10 c-1.

Монета лежит на горизонтальной подставке, движущейся по вертикальной оси по закону: y = A×sinwt, где w = 10 с-1. При каких амплитудах колебаний подставки движение монеты будет гармоническим? На какой максимальной высоте H относительно среднего положения подставки окажется монета в течение первого периода колебаний, если А = 0,2 м. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

 Внутренняя энергия. Важной характеристикой любой термодинамической системы является ее внутренняя энергия – энергия хаотического теплового движения частиц системы - молекул, атомов и энергия их взаимодействия. К внутренней энергии не относится кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Решение По второму закону динамики для монеты N - mg = ma, где N – сила, действующая на монету со стороны подставки вверх (по оси Y), а – ускорение монеты. Движение монеты будет гармоническим до тех пор, пока она не начнет «отрываться» от подставки. При гармоническом движении монеты ее ускорение a =  = –Aw2sinwt. Моменту начала отрыва монеты от подставки при постепенном увеличении амплитуды соответствует условие N = 0. При этом «пограничном» условии g = Aw2sinwt. Таким образом, при А = g/w2 движение монеты еще происходит по гармоническому закону (монета «теряет контакт» с подставкой пока только в верхних точках траектории); при А > g/w2 движение монеты уже не будет гармоническим. В частности, при заданных условиях задачи движение монеты будет гармоническим при А £ 0,1 м. При бόльших амплитудах монета начнет «подскакивать» над подставкой.

Амплитуда колебаний грузика на пружинке возросла в два раза. Во сколько раз увеличились энергия колебаний и площадь его фазовой траектории . 

Два тела массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг находятся на гладкой горизонтальной поверхности и связаны пружиной (k = 1,5×102 Н/м), длина которой L = 12 см. Пружину сжимают на величину DL = 6 см и без толчка отпускают. Какова частота возникших колебаний? Определите амплитуды колебаний каждого тела.

Грузик массой m подвешен на нерастяжимой нити, верхний конец которой перемещают по вертикали по закону: y = A×sinwt. Величина А постепенно растет. При каких минимальных А колебания грузика станут негармоническими? В каких точках начнется отклонение от гармонического закона колебаний грузика?

Найти частоту малых свободных колебаний w0 физического маятника – тела произвольной формы, закрепленного на горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Момент инерции тела относительно этой оси равен J, его масса m, а расстояние от оси до центра тяжести тела равно b.

Решение При отклонении тела от положения устойчивого равновесия (ось вращения и центр тяжести находятся на одной вертикали) появляется момент силы тяжести, действующей на тело, направленный против вектора его углового смещения a. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси будет иметь вид: .

Знак минус здесь обусловлен тем, что направления векторов момента силы тяжести и углового смещения при любом положении тела противоположны. Как мы видим, данное дифференциальное уравнение не является линейным. Однако при малых углах (a << 1) sina » a) и уравнение приобретает знакомую форму (2.1):

В устройстве, показанном на рисунке, блок представляет собой сплошной однородный цилиндр массой М = 8 кг, который может вращаться вокруг оси без трения. Масса груза т = 6 кг. Жесткость пружины k = 1000 H/м. Считая, что проскальзывание нити по блоку отсутствует, а сама нить невесома и нерастяжима, найти частоту малых колебаний груза w0.

Решение Выберем систему отсчета, в которой одна координатная ось направлена вертикально вниз (ОХ), а другая (OZ) – перпендикулярно плоскости рисунка от нас (см. рис.). Пусть начало отсчета на оси ОХ соответствует положению груза при недеформированной пружине. В этом случае координата x груза будет одновременно равна деформации пружины и уравнение движения груза в проекции на ось ОХ можно записать в виде:

Закон отражения: лучи падающий и отраженный лежат в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным к границе раздела сред в точке падения; угол падения равен углу отражения .
Решение задач по физике примеры